תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית, תת-מרחב שמור (או תת-מרחב אינוַריאנטי) של העתקה ליניארית ${\displaystyle T}$, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה ${\displaystyle T}$ שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו.

אם ${\displaystyle W}$ תת-מרחב שמור של ${\displaystyle T}$ אז ניתן לצמצם את ${\displaystyle T}$ לתת-המרחב ${\displaystyle W}$ ולקבל: ${\displaystyle {T|}_{W}\colon W\to W}$

הגדרה

יהי ${\displaystyle W}$ תת-מרחב ב-${\displaystyle V}$ ותהי :${\displaystyle T:V\to V}$ העתקה ליניארית. נאמר ש ${\displaystyle W}$ תת-מרחב שמור ${\displaystyle T}$ של ${\displaystyle V}$ אם ${\displaystyle \ T(W)\subseteq W}$.

תהי ${\displaystyle A}$ מטריצה ריבועית מסדר ${\displaystyle n}$ מעל שדה ${\displaystyle \ \mathbb {F} }$. נאמר ש־${\displaystyle W}$ הוא תת-מרחב שמור ${\displaystyle A}$ של ${\displaystyle \ \mathbb {F} ^{n}}$ אם לכל ${\displaystyle \ w\in W}$ מתקיים ${\displaystyle Aw\in W}$.

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא:

${\displaystyle T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)}$

אזי תת-המרחב ${\displaystyle W:=\operatorname {span} \{(1,0,0),(0,1,0)\}}$ הוא תת-מרחב שמור ${\displaystyle T}$, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של ${\displaystyle T}$ עליו באופן הבא: ${\displaystyle {T|}_{W}(x,y)=(x+2y,3x+4y)}$.

דוגמאות נוספות

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי ו־${\displaystyle T:V\to V}$ העתקה ליניארית, אזי:

1. ${\displaystyle V}$ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי ${\displaystyle T}$.
2. אם ${\displaystyle \lambda }$ ערך עצמי של ${\displaystyle T}$, אזי המרחב העצמי של ${\displaystyle \lambda }$ הוא שמור ${\displaystyle T}$.
3. ${\displaystyle \mathrm {Im} T}$ וגם ${\displaystyle \mathrm {Ker} T}$ תתי-מרחב שמורי ${\displaystyle T}$.

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי בעל ממד סופי, ${\displaystyle T:V\to V}$ העתקה ליניארית ויהי ${\displaystyle p}$ הפולינום המינימלי של ${\displaystyle T}$, נוכל להציג את ${\displaystyle p}$ כמכפלה של גורמים אי פריקים ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{r_{i}}}$.

אזי ${\displaystyle V=Ker~{p_{1}}^{r_{1}}\oplus \cdots \oplus Ker~{p_{n}}^{r_{n}}}$ פירוק ישר של ${\displaystyle V}$ לתתי-מרחב שמורי ${\displaystyle T}$.

בנוסף אם ${\displaystyle T}$ לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של ${\displaystyle T}$.

פעולות על המרחב

יהי ${\displaystyle U,W}$ תתי-מרחב שמורים ${\displaystyle T}$ של ${\displaystyle V}$, אזי:

• ${\displaystyle U\cap W}$ תת-מרחב שמור ${\displaystyle T}$.
• ${\displaystyle U\oplus W}$ תת-מרחב שמור ${\displaystyle T}$.
• אם ${\displaystyle W}$ מרחב עצמי של ${\displaystyle T}$, אזי כל תת-מרחב של ${\displaystyle W}$, הוא תת-מרחב שמור ${\displaystyle T}$.

תת-מרחב ציקלי

יהי ${\displaystyle v\in V}$ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו־${\displaystyle T:V\to V}$ העתקה ליניארית. אזי קיים ${\displaystyle k}$ מקסימלי, כך ש ${\displaystyle B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}}$ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב ${\displaystyle W}$ אשר ${\displaystyle B}$ הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של ${\displaystyle V}$ ביחס ל-${\displaystyle T}$ ול-${\displaystyle v}$, והוא תת-מרחב שמור ה־${\displaystyle T}$ הקטן ביותר המכיל את ${\displaystyle v}$.

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי בעל ממד ${\displaystyle n}$ המחולק לסכום ישר של ${\displaystyle k\leq n}$ תתי-מרחב, לכל תת-מרחב ${\displaystyle W_{i}}$ נצמיד הטלה ${\displaystyle E_{i}}$, אזי ${\displaystyle W_{i}}$ הם שמורי ${\displaystyle T}$ אם ורק אם ${\displaystyle TE_{i}=E_{i}T}$ לכל ${\displaystyle i}$.