Sinc

במתמטיקה, sinc (קיצור של sine cardinal), שמסומנת ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}$, היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור ${\displaystyle \ -6\pi \leq x\leq 6\pi }$.

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc המנורמלת, המוגדרת כך:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה ${\displaystyle \ x=0}$ נקבע לעיתים קרובות כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

תכונות

לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

• ${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}$ ו־${\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,}$ עבור ${\displaystyle k\neq 0\,}$ and ו־${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$ (כלומר k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
• הפונקציות ${\displaystyle x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ }$ יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ עם תדירות זוויתית מקסימלית ${\displaystyle \omega _{\mathrm {H} }=\pi \,}$ (כלומר התדירות המקסימלית היא ${\displaystyle f_{\mathrm {H} }=1/2\,}$).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

• נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,}$ מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\cos(x)\,}$ לכל נקודה בה הנגזרת של ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,}$ היא 0.
• פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 מהסוג הראשון, ${\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}\,}$. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת ${\displaystyle j_{0}(\pi x)\,}$.
• האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (${\displaystyle \pi \,}$). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,}$ הם מספרים שלמים השונים מאפס.
• התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,}$ הוא ${\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,}$.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}\,\mathrm {d} t=\mathrm {rect} (f)}$,

כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל־1/2- ואפס אחרת.

• אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {rect} (0)=1}$,

שהוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג מכיוון שמתקיים:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,\mathrm {d} x=\infty }$

• ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma (x)}$ היא פונקציית גמא.

• ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\mathrm {Si} (x)}$

כאשר ${\displaystyle \mathrm {Si} (x)}$ הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

• לפי נוסחת אוילר:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\,}$

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק

אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק ${\displaystyle \ \delta (x)}$ כך:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x)}$

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,\mathrm {d} x=\varphi (0),}$

לכל פונקציה חלקה ${\displaystyle \varphi (x)}$ עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של ${\displaystyle \ \pm 1/(\pi x)}$, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של ${\displaystyle \ \delta (x)}$ כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם

• הגבול של sin(x)/x
• אנטי אליאסינג (Anti-aliasing)
• מסנן sinc (Sinc filter)
• נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא Sinc בוויקישיתוף

• sinc באתר MathWorld
• Sinc, באתר MathWorld (באנגלית)