בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות גמא (Gamma Distribution) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים, שאותן מסמנים
. המשפחה כוללת את ההתפלגות המעריכית ואת התפלגות כי בריבוע.
עובדות מהירות מאפיינים, פרמטרים ...
התפלגות גמא
מאפיינים |
---|
פרמטרים |
![{\displaystyle \lambda >0,\ \alpha >0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5271f4b34f1e55262999138fea0b1aae451c75a5) |
---|
תומך |
![{\displaystyle x\in [0,\infty )\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30d1372f8f8ed84b32a5df48993e7ba52f29462) |
---|
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf) |
![{\displaystyle {\frac {\lambda ^{\alpha }e^{-\lambda x}x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03c168f6dbf17fd5758879a2ce39558098a9411) |
---|
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) |
![{\displaystyle {\frac {\gamma (\alpha ,\lambda x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09804c139176c12b4af0ef2256ee2c1fea3f9c7) |
---|
תוחלת |
![{\displaystyle \alpha /\lambda \,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb36ec4d7496d1cb2bc3d592506db8ff13f45b3) |
---|
סטיית תקן |
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha }}/\lambda \,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fd17f57162c8fa7f97743279103307ce674a12) |
---|
חציון |
אין ביטוי פשוט |
---|
ערך שכיח |
עבור ![{\displaystyle \alpha \geq 1\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f098f04f7811a1c3f07860f002f67afeb55f23f) |
---|
שונות |
![{\displaystyle \alpha /\lambda ^{2}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc87826e427ec425255c184800627d580d3be3c) |
---|
אנטרופיה |
![{\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada68bf6f2b7129698afe9ca838c47096f1a5d2b)
![{\displaystyle +(1-\alpha )\psi (\alpha )\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9bb7925b2517b51996d865c298eb315a7a8eccf) |
---|
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) |
![{\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-\alpha }\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad65809f61ed6c184a7d8c9c148f7da43661217) |
---|
צידוד |
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfb80705a60b4f3dbc746a134f41bb97b387294) |
---|
גבנוניות |
![{\displaystyle {\frac {6}{\alpha }}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1bf3bbd9a46024a456f691d4f3e8fa82c1112a) |
---|
סגירה
התפלגות גמא משמשת לעיתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. הסיבה לכך היא שההתפלגות
היא ההתפלגות המעריכית חסרת הזיכרון (שמסומנת גם
), והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון. לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם הפרמטר
, אז משך החיים של מערכת שבה נכנסות לפעולה
נורות כאלו בזו אחר זו, מתפלג
. ערכים לא שלמים של
מאפשרים לקרב גם מודלים מורכבים יותר.