יהיו ו- תת-מרחבים של , שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.
נניח כי וניקח בסיס לחיתוך (ההוכחה עובדת גם עבור )
נשלים אותו בשתי דרכים:
- לבסיס של :
- לבסיס של :
כעת נשאר להוכיח: , ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה היא בסיס ל-. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):
- פרישה
יהי , קיימים ו- כך ש הקבוצה היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים כך שמתקיים
באופן דומה, עבור W,
מכאן שמתקיים
ולכן הקבוצה פורשת.
- תלות ליניארית
יהיו סקלרים כך ש:
כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:
קיבלנו וקטור ב (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב- ובאגף שמאל וקטור ב-). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של שהוא בסיס ל-.
קיימים כך שמתקיים:
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי ולכן הקבוצה בת"ל.
לכן בפרט,
מש"ל ■