משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור (הידוע גם כמשפט קנטור-היינה) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה ${\displaystyle f}$ היא רציפה בנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ אם ורק אם עבור כל סדרה ${\displaystyle a_{n}}$ השואפת לנקודה זו, ${\displaystyle a_{n}\rightarrow x_{0}}$ מתקיים ${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(x_{0})}$. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת ${\displaystyle f(x)}$ פונקציה רציפה בקטע הסגור ${\displaystyle [a,b]}$. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ כך שעבור כל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ קיימות שתי נקודות ${\displaystyle x_{n},y_{n}\in [a,b]}$ כך שמתקיים ${\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}}$, אבל ${\displaystyle |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}}$.

נביט כעת בסדרה ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$. כל אברי הסדרה שייכים לקטע ${\displaystyle [a,b]}$, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר ${\displaystyle x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}\in [a,b]}$.

כעת נוכיח כי ${\displaystyle y_{n_{k}}\rightarrow x_{0}}$ - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש-${\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}}$ נובע כי ${\displaystyle |x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|<{\frac {1}{n_{k}}}}$, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(y_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}})-\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}}-y_{n_{k}})=x_{0}}$

על פי רציפות ${\displaystyle f}$, מתקיים: ${\displaystyle f(x_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0}),f(y_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0})}$. מאריתמטיקה של גבולות נקבל ${\displaystyle f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\rightarrow 0}$, וזו סתירה לכך שמתקיים ${\displaystyle |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}}$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.