נגזרת
מושג בחשבון אינפיניטסימלי / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בחשבון אינפיניטסימלי, הנגזרת של פונקציה ממשית מתארת את ההשתנות של פונקציה ביחס לשינוי הפרמטר שהיא מוגדרת לפיו. למושג הנגזרת ישנו חשיבות גדולה בפיזיקה, שכן גדלים פיזיקליים רבים כמו מהירות ותאוצה מוגדרים באמצעות נגזרות. חוקי התנועה בענפים רבים בפיזיקה מבוססים על משוואות דפרנציאליות - משוואות הקושרות גדלים עם הנגזרות שלהם. לדוגמה, הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום (העתק) של מכונית נוסעת, היא פונקציית המהירות של המכונית, ובאותו אופן הנגזרת של פונקציית המהירות שווה לפונקציית התאוצה. הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום של המכונית בזמן מסוים נקראת המהירות הרגעית של המכונית בזמן זה. הנגזרת מוגדרת כגבול של היחס שבו משתנה ערך הפונקציה בעקבות שינוי זעיר בערך הפרמטר.
בערך זה |
הפונקציה הנגזרת של פונקציה ממשית היא בעצמה פונקציה ממשית, שערכה בנקודה שווה לערך הנגזרת של באותה נקודה. הפונקציה הנגזרת היא כלי בסיסי בחקר הפונקציות. למשל, בנקודות קיצון מקומיות (נקודות מינימום ומקסימום מקומיים של הפונקציה) של פונקציה גזירה ערך הפונקציה הנגזרת הוא אפס. לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אפשר, בתנאים מסוימים, לשחזר את הפונקציה המקורית מן הפונקציה הנגזרת שלה, באמצעות אינטגרציה. את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית אפשר לחשב באמצעות כללי גזירה ידועים. לא לכל פונקציה ממשית רציפה יש בהכרח נגזרת (לדוגמה: פונקציית ויירשטראס); פונקציה בעלת נגזרת נקראת פונקציה גזירה (בנקודה או בקטע). את מושג הנגזרת אפשר להכליל לפונקציות מרוכבות ולפונקציות (ממשיות או מרוכבות) בכמה משתנים. במקרה האחרון הנגזרת היא וקטור שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה. באלגברה מופשטת נחקרות התכונות האלגבריות של הנגזרת בענף הנקרא אלגברה דיפרנציאלית.
למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי: הנגזרת של פונקציה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה, כלומר, לכיוון של העקומה שהפונקציה מתארת.