द्वयाधारी संख्या पद्धति

द्व्याधारित (द्वि + आधारित) या द्व्यंकीय (द्वि + अंकीय) संख्या पद्धति गणितीय अभिव्यक्ति की एक विधि है जो केवल दो अंकों का प्रयोग करती है: 0 (शून्य) और 1 (एक)।

द्व्यंकीय अंक प्रणाली 2 के आधार के साथ स्थितीय संकेतन है। प्रत्येक अंक को द्व्यंक कहा जाता है। लॉजिक गेटों का प्रयोग करते हुए अंकीय वैद्युतिक परिपथ में इसके सीधे कार्यान्वयन के कारण, द्व्यंकीय प्रणाली का उपयोग लगभग सभी आधुनिक कम्प्यूटरों और कम्प्यूटराधारित उपकरणों द्वारा किया जाता है, उपयोग की एक पसन्दीदा प्रणाली के रूप में, संचार की विभिन्न अन्य मानव तकनीकों पर, सादगी के कारण भौतिक कार्यान्वयन में भाषा और शोर प्रतिरक्षा।

इतिहास

आधुनिक बाइनरी संख्या प्रणाली का अध्ययन यूरोप में 16वीं और 17वीं शताब्दी में थॉमस हैरियट, जुआन कैरामुएल लोबकोविट्ज़ और गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा किया गया था। हालाँकि, बाइनरी संख्याओं से जुड़ी प्रणालियाँ प्राचीन मिस्र, चीन और भारत सहित कई संस्कृतियों में पहले भी सामने आई हैं। लीबनिज़ विशेष रूप से चीनी आई चिंग से प्रेरित थे।

मिस्र

प्राचीन मिस्र के शास्त्रियों ने अपने अंशों के लिए दो अलग-अलग प्रणालियों का उपयोग किया, मिस्र के अंश (बाइनरी संख्या प्रणाली से असंबंधित) और आई ऑफ होरस अंश (ऐसा नाम इसलिए रखा गया क्योंकि गणित के कई इतिहासकारों का मानना है कि इस प्रणाली के लिए इस्तेमाल किए गए प्रतीकों को आंख बनाने की व्यवस्था की जा सकती है होरस, हालांकि इस पर विवाद हुआ है)। आई ऑफ होरस फ्रैक्शंस अनाज, तरल पदार्थ या अन्य मापों की आंशिक मात्रा के लिए एक बाइनरी नंबरिंग प्रणाली है, जिसमें हेकट का एक अंश बाइनरी अंशों 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। , 1/32 और 1/64. इस प्रणाली का प्रारंभिक रूप लगभग 2400 ईसा पूर्व मिस्र के पांचवें राजवंश के दस्तावेजों में पाया जा सकता है। सी., और इसका पूर्ण विकसित चित्रलिपि रूप मिस्र के उन्नीसवें राजवंश का है, लगभग 1200 ईसा पूर्व।^[1]

चीन

प्राचीन चीन में, आई चिंग के शास्त्रीय पाठ में, 8 ट्रिगर्स और 64 हेक्साग्राम्स की एक पूरी श्रृंखला (3 के अनुरूप बिट्स) और 6-बिट बाइनरी नंबर।^[2] चीनी विद्वान और दार्शनिक शाओ योंग ने साँचा:11वीं सदी में आई चिंग के हेक्साग्राम्स की एक क्रमबद्ध बाइनरी व्यवस्था विकसित की, जो दशमलव अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करती है। 0 से 63, और इसे उत्पन्न करने की एक विधि|^[3]

भारत

प्राचीन गणितज्ञ भारतीय पिंगला ने छंद का वर्णन करने के लिए एक द्विआधारी प्रणाली विकसित की। इसमें छोटे और लंबे अक्षरों (बाद वाले की लंबाई दो छोटे अक्षरों के बराबर होती है) के रूप में बाइनरी संख्याओं का उपयोग किया जाता है, जिससे यह मोर्स कोड के समान हो जाता है। इन्हें लघु (प्रकाश) और गुरु (भारी) अक्षरों के नाम से जाना जाता था।^[4]

एक और संस्कृति

फ़्रेंच पोलिनेशिया में मंगरेवा द्वीप के निवासी 1450 से पहले एक हाइब्रिड बाइनरी-दशमलव प्रणाली का उपयोग करते थे।^[5]बाइनरी संयोजनों की इसी तरह की श्रृंखला का उपयोग पारंपरिक अफ्रीकी भविष्यवाणी प्रणालियों में भी किया गया है, जैसे कि इफा, साथ ही पश्चिमी मध्ययुगीन जियोमेंसी में भी.^[6]

लीबनिज के पश्चिमी पूर्ववर्ती

1605 फ्रांसिस बेकन में उन्होंने एक ऐसी प्रणाली की बात की जिसके द्वारा वर्णमाला के अक्षरों को बाइनरी अंकों के अनुक्रम में कम किया जा सकता है, जिसे किसी भी मनमाने पाठ के फ़ॉन्ट में हल्के बदलाव के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।

1670 में जुआन कैरामुएल ने अपनी पुस्तक मैथेसिस बाइसेप्स प्रकाशित की और XLV से XLVIII पृष्ठों पर उन्होंने बाइनरी सिस्टम का विवरण दिया।

लीबनिज और आई चिंग

आधुनिक बाइनरी सिस्टम को पूरी तरह से लीबनिज ने, साँचा:18वीं सदी में, अपने लेख "एक्सप्लिकेशन डे ल'अरिथमेटिक बिनेयर'' में प्रलेखित किया था। इसमें चीनी गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त बाइनरी प्रतीकों का उल्लेख है। लीबनिज़ ने भाषाई शब्दों को बदलने के लिए दो चरों की एक गणितीय प्रणाली - 0/1 - का उपयोग किया और इस तरह, वर्तमान बाइनरी प्रणाली की तरह, जानकारी वितरित की।^[7].

बाद के विकास

1854 में, ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने एक लेख प्रकाशित किया था जिसमें पहले और बाद में तर्क की एक प्रणाली का विवरण दिया गया था जिसे अंततः बूले का बीजगणित कहा जाएगा। ऐसी प्रणाली वर्तमान बाइनरी सिस्टम के विकास में, विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के विकास में, मौलिक भूमिका निभाएगी।

अंकीय गिनती (Digital counting)

गिनती	बाइट	हर्ट्ज़
${\displaystyle 2^{1}=2\cdot 1=2}$
${\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}$
${\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8}$
${\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}$
${\displaystyle 2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32}$
${\displaystyle 2^{6}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64}$
${\displaystyle 2^{7}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=128}$
${\displaystyle 2^{8}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=256}$
${\displaystyle 2^{9}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=512}$
${\displaystyle 2^{10}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=1,024}$	एक किलो-बाइट	एक किलो-हर्ट्ज़
${\displaystyle 2^{20}=1024^{2}=1024\cdot 1024=10,48,576}$	एक मेगा-बाइट	एक मेगा-हर्ट्ज़
${\displaystyle 2^{30}=1024^{3}=1024\cdot 1024\cdot 1024=10,73,741}$	एक गीगा-बाइट	एक गीगा-हर्ट्ज़
${\displaystyle 2^{40}=1024^{4}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024=10,99,51,16,27,776}$	एक टेरा-बाइट	एक टेरा-हर्ट्ज़
${\displaystyle 2^{50}=1024^{5}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024=1,12,58,99,90,68,42,620}$	एक पेटा-बाइट	एक पेटा-हर्ट्ज़

द्वयाधारी निरूपण

किसी द्वयाधारी संख्या के मान की गणना निम्नलिखित प्रकार से करते हैं-

${\displaystyle [1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}}$

द्वयाधारी पद्धति में निरूपित संख्या के आगे या पीछे 'कुछ' जोड़कर यह स्पष्त किया जाता है कि संख्या द्वि-आधारी है (न कि दाशमिक, अष्टाधारी या षोडशाधारी)। नीचे लिखे हुए सभी 'संकेतों का समूह' संख्या 'छः सौ सरसठ (667) को निरूपित कर रहे हैं। किन्तु पहला वाला निरूपण सबसे अधिक प्रचलित है।

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1
| − | − − | | − | |
x o x o o x x o x x
y n y n n y y n y y

भ्रम से बचाने के 0 और 1 का प्रयोग करके लिखे गये द्वि-आधारी संख्याओं के साथ कुछ और भी लगा दिया जाता है ताकि उसका आधार (२) स्पष्ट रहे। इस प्रकार, निम्नलिखित सभी निरूपण एक ही संख्या को निरूपित करते हैं-

100101 द्वयाधारी (आधार का स्पष्ट उल्लेख कर दिया है)

100101b (यहाँ प्रत्यय जोड़ दिया है जो द्वयाधारी संख्या को सूचित कर रहा है।)

100101B (यहाँ भी प्रत्यय जोड़ दिया है जो द्वयाधारी संख्या को सूचित कर रहा है।)

bin 100101 ((यहाँ संख्या के पहले उपसर्ग bin जोड़ दिया है जो द्वयाधारी संख्या को सूचित कर रहा है।)

100101₂ (यहाँ आधार-2 को सूचित करने वाला 'सबस्क्रिप्ट' जोड़ दिया गया है।)

%100101 (द्वयाधारी संख्या बताने वाला एक उपसर्ग (प्रीफिक्स) लगा दिया गया है।)

0b100101 (द्वयाधारी संख्या बताने वाला एक उपसर्ग (प्रीफिक्स) लगा दिया गया है। ; प्रोग्रामन भाषाओं में प्रायः प्रयुक्त)

6b100101 (द्वयाधारी संख्या बताने वाला एक उपसर्ग (प्रीफिक्स) लगा दिया गया है। ; प्रोग्रामन भाषाओं में प्रायः प्रयुक्त)

द्वयाधारी संख्याओं को जब शब्दों में उच्चारित करना पड़ता है तो उन्हें अंकशः (digit-by-digit) पढ़ते हैं जिससे दाशमिक संख्याओं से भिन्नता समझ में आ सके। उदाहरण के लिये, बाइनरी संख्या 100 का उच्चारण 'एक शून्य शून्य' (one zero zero) करेंगे न कि 'एक सौ'। इससे इस संख्या का द्विआधारी प्रकृति का पता भी चल जाता है और 'शुद्धता' भी रहती है। '100', एक सौ नहीं है, यह केवल चार है। इसलिये इसे 'एक सौ' पुकारना गलत है।

द्वयाधारी गिनती (Counting in binary)

नीचे द्वयाधारी संख्या पद्धति में शून्य से सोलह तक की गिनती (लिखने का तरीका) दिया गया है।

द्वयाधारी पैटर्न	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001
दाशमिक संख्या	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16