Realni broj

Skup realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je unija skupa racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ i skupa iracionalnih brojeva.

Odnos skupova brojeva

Računske operacije na skupu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ su definirane kao i za ostale skupove ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

• Skup ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
• Skup ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je neprebrojiv.
• Elementi skupa ${\displaystyle \mathbb {R} }$ prekrivaju čitav brojevni pravac.

Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je polja.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva

Za polje realnih brojeva vrijedi:^{[1]:str. 17.}

(R1) ${\displaystyle a+b\in \mathbb {R} ,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ (zatvorenost zbrajanja)

(R2) ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ (asocijativnost zbrajanja)

(R3) ${\displaystyle a+0=a,\forall a\in \mathbb {R} }$ (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4) ${\displaystyle (\forall a\in \mathbb {R} )(\exists -a\in \mathbb {R} )(a+(-a)=0)}$ (postojanje suprotnog broja)

(R5) ${\displaystyle a+b=b+a,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ (komutativnost zbrajanja)

(R6) ${\displaystyle ab\in \mathbb {R} ,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ (zatvorenost množenja)

(R7) ${\displaystyle (ab)c=a(bc),\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ (asocijativnost množenja)

(R8) ${\displaystyle a\cdot 1=a,\forall a\in \mathbb {R} }$ (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9) ${\displaystyle (\forall 0\neq a\in \mathbb {R} )(\exists a^{-1}\in \mathbb {R} )(aa^{-1}=1)}$ (postojanje inverznog broja)

(R10) ${\displaystyle ab=ba,\forall a,b\in \mathbb {R} }$ (komutativnost množenja)

(R11) ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac,\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)' ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc,\forall a,b,c\in \mathbb {R} }$ (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

Uređaj na skupu realnih brojeva

Realni broj ${\displaystyle a}$ manji je od realnog broja ${\displaystyle b}$ ako postoji pozitivan realni broj ${\displaystyle p}$ takav da je ${\displaystyle a+p=b}$. Uređaj ima sljedeća svojstva:^{[1]:str. 61.}

• tranzitivnost uređaja: ${\displaystyle a<b\land b<c\implies a<c}$
• odnos uređaja prema zbrajanju: ${\displaystyle a<b\implies a+x<b+x,\forall x\in \mathbb {R} }$
• odnos uređaja prema množenju: ${\displaystyle a<b\implies ax<bx,\forall x>0}$ i ${\displaystyle a<b\implies ax>bx,\forall x<0}$

Realni broj kao presjek niza padajućih segmenata

Za svaki realni broj ${\displaystyle x}$ postoji padajući niz segmenata

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset \dots }$

u čijem se presjeku nalazi samo realni broj ${\displaystyle x}$. Zanimljivo je da se ${\displaystyle a_{k},b_{k}}$ mogu izabrati tako da budu racionalni brojevi.^[2]