Gauss–Osztrohradszkij-tétel
matematikai állítás From Wikipedia, the free encyclopedia
matematikai állítás From Wikipedia, the free encyclopedia
A Gauss–Osztrohradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris V(x) vektormezőre fennáll, hogy V divergenciájának térfogati integrálja megegyezik a (normális) F felületelem és V skaláris szorzatának integráljával:
vagy (a merőleges komponens felírásval)
Más szavakkal a V vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő V divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával.
Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:
Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:
Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az
egyenletet kapjuk.
Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:
Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.
Legyen (M,g) egy legalább C^2 osztályú sokaság, N egy irányított peremes részsokasága N-nek, és legyen A egy kompakt tartójú dim(N)-1-forma a M-en! Ekkor fennáll az alábbi összefüggés:
ahol 'd' a külső deriválás operátor, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt).
Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, valamint, ha a sokaság 3 dimenziós, akkor a Reimann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel az ismert integráltételek (Newton-Leibniz, Gauss, Stokes, Green) közös általánosításaként fogható fel.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.