Integrál
matematikai analízis fontos fogalma / From Wikipedia, the free encyclopedia
Az integrál a matematikai analízis fontos fogalma. Egy adott f valós, [a, b] intervallumon definiált függvény határozott integrálja ugyanezen intervallumon:
Egyszerűen úgy fogalmazható meg, hogy ez a függvény és az x-tengely által az ([a, b] intervallumon) bezárt előjeles terület.
Ezt a területet a következők határolják:
- az f függvény grafikonja,
- az x-tengely
- x = a és az x = b függőleges egyenesek
Az x-tengely feletti terület "hozzáad" a teljes területhez, vagyis pozitív területű, míg az x-tengely alatti terület "elvesz" a teljes területből, vagyis negatív területű.
Az integrálás a deriválás ellentétének tekinthető, emiatt néha az integrál kifejezést használják az antiderivált (f antideriváltjai azok a függvények, amelyek deriváltja f) jelölésére is.
Amennyiben nincs meghatározva az integrálás tartománya, akkor határozatlan integrálról beszélünk:
Ez a szócikk a határozott integrálról szól.
Az integrálás alapjait egymástól függetlenül fedezte fel Newton és Leibniz a 17. század végén. A mindkettőjük által felfedezett Newton–Leibniz-tétel összeköti az integrálást és a deriválást:
ha f egy folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon akkor, ha adott az F függvény, ami f primitív függvénye, akkor f határozott integrálja a következőképpen számítható ki:
Az integrálás és a deriválás a fizikusok és a mérnökök fontos eszköze. Az analízis megalkotói az integrált úgy képzelték el, mint olyan közelítő téglalapok területösszege, amelyek alapterülete infinitezimális. Az integrál egyik első és legelterjedtebb formális definíciója Bernhard Riemanntól származik. Ez a definíció egy közelítés (Riemann-összegek) határértékeként definiálja az integrál értékét. A 19. század elején az integrálfogalom különféle általánosításai jelentek meg, amelyek az integrálható függvények halmazát kiterjesztették, éppúgy, mint ahogy kiterjesztették ezen integrálható függvények lehetséges alaphalmazát. A vonalintegrál olyan integrál, ahol az integrálási tartomány nem egy intervallum, hanem egy meghatározott görbe, amely összeköt két pontot egy síkon vagy a térben. Az integrál ilyen általánosításainak legfőbb mozgatórugója a fizika, különösen az elektrodinamika szükségletei voltak. Többféle modern integrál is létezik, a legismertebb talán a Lebesgue-integrál, amit Henri Lebesgue fejlesztett ki a 20. század elején.