Nyílt halmaz
From Wikipedia, the free encyclopedia
A topológiában egy halmaz akkor nyílt, ha nem tartalmazza egy határpontját sem, vagyis megegyezik a belső pontjainak halmazával. Metrikus terekben a nyílt halmazok pontosan azok, amelyek minden pontjához van olyan ε, hogy amely pontok ennél közelebb vannak, azok is a halmazhoz tartoznak. Topologikus terekben ezt környezetekkel fogalmazzák át: egy halmaz nyílt, ha minden pontjának egy környezetét is tartalmazza.
Nem tévesztendő össze a következővel: Nyílthalmaz. |
A definíciónak az a lényege, hogy mivel a nyílt halmaz minden pontját a halmaz saját elemei veszik körül, ezért nem tartalmazza a határát. A komplementere tartalmazza a halmaz határát, ami az ő határa is, tehát a zárt halmazokról tudjuk, hogy tartalmazzák a határukat.
A topologikus terekben a nyílt halmazokat használják ahhoz, hogy kifejezzék a pontok közelségét. Ezt használják például a folytonos függvények definíciójának átviteléhez. A topologikus terek szerkezetét az határozza meg, hogy mely halmazok nyíltak bennük. A nyílt halmazok rendszerét ismét topológiának hívják. Ezek a matematika kapcsolódó területein is szervező erővel bírnak, például a Zariski-topológia az algebrai geometriában, ami a varietások topológiai szemléletét tükrözi, vagy a differenciáltopológia differenciálható sokaságai, ahol minden ponthoz van őt tartalmazó nyílt halmaz, amely homeomorf egy euklideszi nyílt gömbbel.
A pontok és a halmazok elválaszthatóságát is nyílt halmazokkal fogalmazzák meg. Az elválaszthatósági axiómák pontok vagy halmazok elválasztásáról szólnak.
A topologikus terek kategóriájában a morfizmusok a két topologikus tér között menő folytonos függvények, amelyek megőrzik a topologikus terek szerkezetét, és közeli pontokat közeli pontokba visznek. A metrikus terek topológiájában egy függvény méri a távolságot az egyes pontok között. Ez a távolságfüggvény adja meg a tér topológiáját, vagyis hogy mely halmazok tekinthetők nyíltnak. A metrikus terekben vizsgálhatók az izometriák is, amelyek megőrzik a távolságot a topologikus invariánsok mellett. A topológia szempontjából jól ismerjük a topologikus tereket, bár vannak megoldatlan problémák is.