Tetraéder
4 háromszöglappal határolt poliéder / From Wikipedia, the free encyclopedia
A tetraéder egy négy háromszöglappal határolt poliéder. Az egyetlen konvex három dimenziós poliéder, aminek négy lapja van. Azonban többnyire szabályos tetraéderre gondolnak, amikor tetraéderről esik szó. A tetraédert nevezik három dimenziós szimplexnek, vagy háromszög alapú gúlának.
Általános értelemben a tetraéder háromszög alapú gúla. Egyik háromszög lapját alaplapnak, a többi háromszög lapot a palást részének tekintik. Mivel a legkisebb lap- és csúcsszámú poliéder, ezért szimplexnek nevezik. A háromszög térbeli megfelelőjének tekinthető; a háromszög 2 dimenziós szimplex.
A következők az általános értelemben vett tetraéderre vonatkoznak:
- Minden tetraédernek van beírt és körülírt gömbje.
- Súlypontja a csúcsokat és a szemközti háromszöglap súlypontját összekötő egyenesen van, és ennek a tetraéderbe eső szakaszát 3:1 arányban osztja.
- Négy csúcsának konvex burka.
-ben a tetraéder megadható egy csúcsával, és három vektorral, amelyek másik végpontja a másik három csúcsba mutat. Ha ezeket a vektorokat jelöli, akkor a tetraéder térfogata:
A tetraédernek 4 csúcsa, 4 lapja és 6 éle van. Ha megadjuk egyik oldalát három független adatával, és megadjuk a maradék három él hosszát, akkor a tetraéder már egyértelműen adva van, tehát hat független adatból meghatározható.
A továbbiakban, ha mást nem írunk, a szabályos tetraéderről lesz szó.
Az a élhosszú szabályos tetraéder méretei | ||
---|---|---|
Térfogat ≈ 0,12 a³ |
||
Felszín ≈ 1,73 a² |
||
A körülírt gömb sugara ≈ 0,61 a |
||
Éleit érintő gömb sugara ≈ 0,35 a |
||
Beírt gömb sugara ≈ 0,2 a |
||
Magasságagúlaként ≈ 0,82 a |
||
VTérfogat körülírt gömb sugara |
||
Lapszög ≈ 70° 31' 44" |
||
Lap-élszög ≈ 54° 44' 8" |
||
Csúcsszög ≈ 0,1755 π | ||
Tetraéderszög ≈ 109° 28' 16" |
Az általános értelemben vett tetraéder térfogata
Az általános értelemben vett tetraéder térfogata a gúlák képletével számítható:
ahol A0 az alap, és m a hozzá tartozó magasság. Alapnak bármely lap választható, így egy tetraéder lapjainak területe és a hozzá tartozó magasság fordítottan arányos.
Ha a tetraéder csúcsainak koordinátái adottak:
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3) és d = (d1, d2, d3),
akkor térfogata:
(1/6)·||(a − d, b − d, c − d)|,
vagy a csúcspárok bármely kombinációja, amelyek egyszeresen összefüggő gráfot alkotnak. Ez átírható vegyes szorzatra:
Ha a d csúcsot a nullába toljuk:
d = 0, így
ahol a, b, és c egy csúcsban összefutó élek, és a · (b × c) a vegyes szorzat. Összevetve a paralelepipedon térfogatképletével kapjuk, hogy a tetraéder térfogata hatoda annak a paralelepipedon térfogatának, amit ugyanaz a három él feszít ki.
A vegyes szorzat ábrázolható ezzel a determinánssal:
- {
ahol
- és a többi egységesen sor- vagy oszlopvektor.
Így
ahol
és így tovább, amivel
ahol α, β, γ a d csúcs körüli síkszögek. Az α, a d csúcsot a b-vel és a c-vel összekötő élek közrezárt szöge. A β az a-ba és a c-be futó élek közötti szög, míg γ az a-ba és a b-be menő élek szöge.
A csúcsok közötti távolságok ismeretében a térfogat a Cayley–Menger-determinánssal számítható:
ahol az indexek rendre az {a, b, c, d} csúcsoknak felelnek meg, és az egyes csúcsok közötti élek hossza. A negatív térfogat azt jelzi, hogy az adott élhosszakkal nem építhető tetraéder. Ez a képlet Tartaglia képlete néven ismert, amit azonban a festő Piero della Francesca fedezett fel a 15. században a Hérón-képlet analogonjaként.[1]
Jelölje a tetraéder éleit U, V, W, u, v, w úgy, hogy U, V, W alkot egy háromszöget, és u, v, w rendre a nagybetűs megfelelőikkel szemközti élek. Ekkor:[2]
ahol
A hiperbolikus és a gömbi térben adott tetraéderek térfogatát térszögeik határozzák meg. Az összefüggést a Murakami–Yano formula adja meg.[3] Mivel az euklideszi geometriában a tetraédert csak hasonlóság erejéig határozzák meg a szögei, ezért a formula nem alkalmazható az euklideszi térben.
Nagyfokú szimmetriája miatt a szabályos tetraéder a szabályos poliéderek egyike. Van neki:
- Négy háromfogású szimmetriatengelye a csúcsokon és a szemben fekvő lapok középpontjain át
- Három négyfogású, így három kétfogású forgástengelye a szemben fekvő élpárok középpontjain át
- Hat szimmetriasíkja, ami az egyik szemben fekvő élpár egyik egyenesét tartalmazza, és a másikra merőleges.
Az egyetlen szabályos test, ami nem középpontosan szimmetrikus.
Összesen a tetraédernek 24 szimmetriája van. Ez a tetraédercsoport, ami izomorf az S4 szimmetrikus csoporttal, ahogy a csúcsokon vagy a lapokon végzett hatás mutatja. Más jelöléssel Schoenflies szerint Td, és Hermann-Mauguin szerint 43m. Az oktaédercsoport (kockacsoport) részcsoportja.
Részletesebben, a tetraédercsoport forgatásokra és forgatva tükrözésekre osztható. Az előbbiek hatásuk szerint éppen a páros, az utóbbiak éppen a páratlan permutációknak felelnek meg. A forgatások egyike az identitás, de ide tartozik 8 120 fokos és 3 180 fokos forgatás. Ezek konjugáltosztályok is. Néha csak a tetraéder forgatásait tekintik tetraédercsoportnak. A forgatva tükrözések közül 6 tisztán tükrözésként leírható, a többiek egy 90 fokos forgatás egy élpár felezőpontjain átmenő egyenesre, és egy erre merőleges síkra síkra tükrözés szorzataként állnak elő.
A következők egy origó középpontú, 2 élhosszú szabályos tetraédert adnak meg:
- (±1, 0, −1/√2)
- (0, ±1, 1/√2)
Egy másik megadási mód a kockába írt tetraédert használja, ahol a kocka élhossza 2, a tetraédereké .
- Egyik tetraéder: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1).
- Másik tetraéder: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1).
A pár együtt egy csillagtetraédert ad ki. Ha a csúcsokat rendezetlenül egyesítjük, akkor visszakapjuk a kocka csúcsait.