Áltökéletes számok

A számelméletben áltökéletes szám (angolul semiperfect vagy pseudoperfect) az olyan természetes szám, ami előáll, ha néhány vagy az összes valódi osztóját összegezzük. Az olyan áltökéletes szám, ami az összes valódi osztója összegeként adódik, egyben tökéletes szám is.

Ez a szócikk az angol terminológiában semiperfectnek nevezett számokról szól. A hemiperfect számok a féltökéletes számok szócikkben találhatók.

Az első néhány áltökéletes szám:

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ... (A005835 sorozat az OEIS-ben)

Tulajdonságok

• Egy áltökéletes szám minden többszöröse is áltökéletes.^[1] Az olyan áltökéletes számot, ami nem osztható kisebb áltökéletes számokkal, primitív áltökéletes számnak nevezzük.
• Minden 2^mp alakú szám, ahol m természetes szám, p prímszám és p < 2^{m + 1} áltökéletes szám.
  • Minden 2^m − 1(2^m − 1) alakú szám áltökéletes szám, ha pedig 2^m − 1 Mersenne-prím, akkor ténylegesen tökéletes szám.
• A legkisebb páratlan áltökéletes szám a 945 (lásd pl. Friedman 1993).
• Az áltökéletes számok szükségképpen vagy tökéletes számok, vagy bővelkedő számok. Az olyan bővelkedő számokokat, amik nem áltökéletesek furcsa számoknak nevezzük.
• 2 kivételével valamennyi elsődleges áltökéletes szám egyben áltökéletes szám is.
• Minden praktikus szám, ami nem kettőhatvány áltökéletes szám.
• Az áltökéletes számok természetes sűrűséggel rendelkeznek.^[2]

Primitív áltökéletes számok

Egy primitív áltökéletes szám (vagy irreducibilis áltökéletes szám) olyan áltökéletes szám, aminek nincs áltökéletes valódi osztója.^[2]

Az első néhány primitív áltökéletes szám: 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (A006036 sorozat az OEIS-ben)

Végtelen sok ilyen szám létezik. Minden 2^mp, alakban felírható szám (ahol p 2^m és 2^m+1 közé eső prímszám) primitív áltökéletes, de nem ez az egyetlen felírási mód, például a 770 is primitív áltökéletes.^[1][2] Végtelen sok páratlan primitív áltökéletes szám létezik, közülük a legkisebb a 945. Erdős Pál megmutatta, hogy^[2] végtelen sok olyan primitív áltökéletes szám is létezik, melyek nem osztóharmonikus számok.^[1]

Kapcsolódó szócikkek

• Féltökéletes számok
• Erdős–Nicolas-számok