Bernoulli törvénye

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia-összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg

A Bernoulli-törvény szemléltetése vízzel

Állandó földi nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=\mathrm {konstans} }$

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = földi nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

${\displaystyle \rho }$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

• Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
• Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás
• Összenyomhatatlan közeg; ${\displaystyle \rho }$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
• Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg

A Bernoulli-törvény szemléltetése levegővel

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+\phi +w=\mathrm {konstans} }$

ahol

${\displaystyle \phi \,}$ = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, ${\displaystyle \phi =gh\,}$ állandó nehézségi gyorsulás esetén

${\displaystyle w\,}$ = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

${\displaystyle w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}}$ ahol ${\displaystyle \epsilon \,}$ a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és ${\displaystyle b}$-vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) ${\displaystyle b}$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

${\displaystyle m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=F}$

${\displaystyle \rho A\operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=-A\operatorname {d} p}$

${\displaystyle \rho {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dx}}}$

Állandósult áramlás esetén ${\displaystyle v=v(x)}$, így

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {dv}{dx}}v={\frac {d}{dx}}{\frac {v^{2}}{2}}}$

Ha ${\displaystyle \rho }$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$

vagy

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$

ahol a ${\displaystyle C}$ állandó, ezt néha Bernoulli-állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy ${\displaystyle \Delta t;}$ idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét

A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása

A nyomáskülönbségből származó erők munkája:

${\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}$

A nehézségi erő munkája:

${\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}\;}$

A kinetikai energia növekedése:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}.}$

A fentieket összevetve:

${\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$

vagy

${\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}$

Mindkét oldalt elosztva ${\displaystyle \Delta t}$-vel, ${\displaystyle \rho }$-val és ${\displaystyle A_{1}v_{1}}$-val (= térfogatáram = ${\displaystyle A_{2}v_{2}}$, mivel a közeg összenyomhatatlan):

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=C}$

Leosztva g-vel:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}=C}$

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{h}}}}$ vagy ${\displaystyle h={\frac {v^{2}}{2g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:

${\displaystyle p=\rho gh\,}$, vagy ${\displaystyle h={\frac {p}{\rho g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az ${\displaystyle A_{1}}$ és az ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten a ${\displaystyle \Delta t}$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az ${\displaystyle A_{1}}$ és ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}\,}$

ahol ${\displaystyle \Delta E_{1}}$ és ${\displaystyle \Delta E_{2}}$ az energia mennyisége, amely az ${\displaystyle A_{1}}$ keresztmetszeten beáramlik és a ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a ${\displaystyle p\,dV}$ mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

${\displaystyle \Delta E_{1}=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t}$

Hasonló összefüggést lehet felírni a ${\displaystyle \Delta E_{2}}$-re is. Így behelyettesítve a ${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}}$ ezt kapjuk:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\phi _{2}\rho _{2}+\epsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right]A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

amit így át lehet alakítani:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\phi _{1}+\epsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right]\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\phi _{2}+\epsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right]\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+\phi +\epsilon +{\frac {p}{\rho }}={\rm {konstans}}\equiv b}$

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom

• Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest

További információk

• Bernoulli-törvénye és a barackok – YouTube videó a törvényt szemléltető egyik kísérletről