Folytonos függvény

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy ${\displaystyle f}$ függvény folytonossága az ${\displaystyle x}$ helyen azt jelenti, hogy ${\displaystyle x}$ kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az ${\displaystyle f(x)}$ is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).^[1]

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék, illetve más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, például valamely topológiai axiómarendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.

Pontbeli folytonosság

Definíció

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy ${\displaystyle A}$ részhalmazán értelmezett ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ függvény folytonos az értelmezési tartományának egy ${\displaystyle u}$ pontjában, és ezt ${\displaystyle f\in C(u)}$-val jelöljük, ha minden ${\displaystyle \varepsilon }$ pozitív számhoz létezik olyan ${\displaystyle \delta }$ pozitív szám, hogy minden olyan ${\displaystyle x\in A}$ számra, amely ${\displaystyle u}$-tól ${\displaystyle \delta }$-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az ${\displaystyle f(x)}$ függvényérték ${\displaystyle \varepsilon }$-nál kisebb távolságra van ${\displaystyle f(u)}$-tól. Azaz

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in A\quad (\;|x-u|<\delta \;\Rightarrow \;|f(x)-f(u)|<\varepsilon )}$

Magyarázat: a függvény ${\displaystyle u}$-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ${\displaystyle \varepsilon }$ hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az ${\displaystyle u}$ körül olyan kis ${\displaystyle (u-\delta ,u+\delta )}$ intervallum, amelyen belüli ${\displaystyle x}$-ekre a függvény ${\displaystyle f(x)}$ értékei a hibakorlátnál – ${\displaystyle \varepsilon }$-nál – kisebb mértékben térnek el ${\displaystyle f(u)}$-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkel

Legyen ${\displaystyle f}$ a valós számok egy ${\displaystyle A}$ részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen ${\displaystyle u\in A}$. Az, hogy az ${\displaystyle f}$ függvény az ${\displaystyle u}$ pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

• ${\displaystyle u}$ az ${\displaystyle A}$-nak vagy izolált pontja, vagy
• ${\displaystyle u}$ az ${\displaystyle A}$-nak torlódási pontja és létezik az ${\displaystyle f(u)}$-val egyenlő ${\displaystyle \lim \limits _{x\to u}f(x)}$ határérték.

${\displaystyle u}$ torlódási pontja ${\displaystyle A}$-nak, ha bármely pozitív ${\displaystyle \varepsilon }$-hoz létezik ${\displaystyle A}$-nak olyan ${\displaystyle u}$-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága ${\displaystyle u}$-tól kisebb, mint ${\displaystyle \varepsilon }$. ${\displaystyle A}$-nak izolált pontja ${\displaystyle u}$, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ${\displaystyle \varepsilon }$, melyre ${\displaystyle A}$-nak nincs más eleme az ${\displaystyle (u-\varepsilon ,u+\varepsilon )}$ nyílt intervallumban, csak ${\displaystyle u}$.

Átviteli elv

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az ${\displaystyle f}$ valós számok halmazának egy ${\displaystyle A}$ részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az ${\displaystyle u\in A}$ pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, ${\displaystyle u}$-hoz konvergáló ${\displaystyle (x_{n})}$ sorozat esetén a függvényértékek ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ sorozata is konvergens és az ${\displaystyle f(u)}$ számhoz tart, azaz

${\displaystyle \forall (x_{n}):\mathbb {N} \to A\quad (\;\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=u\;\Rightarrow \;\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(u))}$

Halmazon való folytonosság

Azt mondjuk, hogy egy ${\displaystyle f}$ függvény folytonos az értelmezési tartományának egy ${\displaystyle H}$ részhalmazán, és ezt ${\displaystyle f\in C(H)}$-val jelöljük, ha ${\displaystyle f}$ folytonos a ${\displaystyle H}$ halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$ folytonos, és ezt ${\displaystyle f\in C}$-vel jelöljük, ha ${\displaystyle f}$ folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Uniform (egyenletes) folytonosság

Ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ a valós számok részhalmazai, akkor az ${\displaystyle f:X\to Y}$ függvény uniform folytonos, ha bármely ${\displaystyle \epsilon >0}$-ra létezik ${\displaystyle \delta >0}$, úgy, hogy bármely ${\displaystyle x,y\in X}$, ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ teljesül, hogy ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$. A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a ${\displaystyle \delta }$ értéke csak ${\displaystyle \epsilon }$-tól függ, magától az ${\displaystyle a}$ ponttól nem.

Abszolút folytonosság

Legyen ${\displaystyle I}$ a valós számok egy intervalluma. Az ${\displaystyle f:I\to R}$ függvény abszolút folytonos az ${\displaystyle I}$ halmazon, ha bármely pozitív ${\displaystyle \epsilon }$-hoz létezik egy pozitív ${\displaystyle \delta }$, úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ részintervallumoknak teljesül, hogy:^[2]

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$-ra igaz :${\displaystyle \displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon .}$.

Az alábbi állítások a valós ${\displaystyle f}$ függvényre vonatkozóan az ${\displaystyle [a,b]}$ kompakt intervallumon ekvivalensek:^[3]

1. ${\displaystyle f}$ abszolút folytonos;
2. ${\displaystyle f}$-nek majdnem mindenhol létezik egy ${\displaystyle f'}$ deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$ bármely ${\displaystyle x}$-re az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon;
3. létezik egy ${\displaystyle g}$ Lebesgue-integrálható függvény ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon, úgy, hogy ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$ bármely ${\displaystyle x}$-re az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol ${\displaystyle g=f'}$. Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.^[4]

Szakadás

Bővebben: Szakadás (matematika)

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az ${\displaystyle D_{f}\subset \Re }$ halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő ${\displaystyle f(x)}$ helyettesítési érték.

Szinguláris pont

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadás

Ha egy ${\displaystyle v\in \Re }$ hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a ${\displaystyle f(v):=\lim[f(x)]}$ előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Ugráshely

Egy ${\displaystyle v\in D_{f}}$ hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Elsőfajú szakadás

Ha a függvénynek a ${\displaystyle v}$ helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az ${\displaystyle f(v)}$ helyettesítési értékkel, a szakadás elsőfajú. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Másodfajú szakadás

Minden egyéb esetben, például, ha a jobb és bal oldali határértékek különbözőek (végesek), és egyik sem egyezik meg az ${\displaystyle f(v)}$ helyettesítési értékkel, a szakadás másodfajú és nem megszüntethető.

Kapcsolódó szócikkek

• Egyenletes folytonosság
• Abszolút folytonosság