Különbség (halmazelmélet)

A különbség a halmazelmélet egy kétváltozós művelete, ami két halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az első halmaz elemei közül pontosan azokat tartalmazza, melyeket a második nem.

A sötétlila terület az A mínusz B

Definíció és jelölés

Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ halmazok, akkor az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ különbségének nevezzük és ${\displaystyle A\setminus B}$ (szóban: „á különbség bé”, vagy „á mínusz bé”) módon jelöljük az ${\displaystyle A}$ halmaz azon elemeinek összességét, melyek nem elemei ${\displaystyle B}$-nek. Ezt szimbolikusan így írjuk: ${\displaystyle A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.}$

Példák

• {1,2,3} \ {2,3,4} = {1}
• {2,3,4} \ {1,2,3} = {4}
• Ha a valós számok ${\displaystyle \mathbb {R} }$ halmazából kivonjuk a racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ halmazát, akkor eredményül megkapjuk az irracionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ halmazát, vagyis ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{*}}$.

Tulajdonságok

Ha az ${\displaystyle U}$ univerzumban (másként az alaphalmazban) ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ és ${\displaystyle C}$ halmazok, akkor igazak a következők:

• Ha az ${\displaystyle A\neq B}$, akkor a különbségképzés nem kommutatív: ${\displaystyle A\setminus B\neq B\setminus A}$.
• Ha   ${\displaystyle A\subseteq B\,\!}$ , akkor   ${\displaystyle A\setminus B=\emptyset }$.
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset }$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset \,\!}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A}$
• ${\displaystyle U\setminus A=A^{c}\,\!}$
• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}\,\!=(A^{c}\cup B)^{c}}$    és    ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B}$

Továbbá

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)\,\!}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)\,\!}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)\,\!}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)\,\!}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)\,\!}$

Kapcsolódó szócikkek

• Komplementerképzés

További információk

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai