Kommutativitás

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (A;\cdot )}$ tetszőleges grupoid. Ha minden ${\displaystyle a,b\in A}$ elemre teljesül, hogy ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$, akkor azt mondjuk, hogy a ${\displaystyle \cdot }$ művelet kommutatív a ${\displaystyle (A;\cdot )}$ grupoidban.^[1]

Tulajdonságok

• Kommutatív ${\displaystyle (A;\cdot )}$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in A}$ elemekre az ${\displaystyle a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}\in A}$ szorzat eredménye független az ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ tényezők sorrendjétől.^[1]

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak.
• A valós számokon értelmezett kivonás művelet nem kommutatív: pl. ${\displaystyle 3-5\neq 5-3}$.
• A nullától különböző valós számokon értelmezett osztás sem kommutatív: pl. ${\displaystyle {\frac {3}{8}}\neq {\frac {8}{3}}}$.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
• A leképezések szorzása (függvénykompozíció) nem kommutatív: pl. ${\displaystyle \sin(\cos(\pi ))\neq \cos(\sin(\pi ))}$.

Kommutatív struktúrák

• Abel-csoport

További információk

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

Kapcsolódó szócikkek

• Asszociativitás
• Disztributivitás
• Antikommutativitás