Kotangenstétel

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\rho }},}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\rho }},}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\rho }},}$

ahol ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$ a háromszög beírt körének sugara, ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}={\frac {1}{\rho }}}$.

Bizonyítása

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az ${\displaystyle A}$ csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) ${\displaystyle \alpha }$, a szemközti oldal pedig ${\displaystyle a}$.

Ha a beírt kör ${\displaystyle O}$ középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem ${\displaystyle a}$) oldalra, az ${\displaystyle A}$ pontot pedig összekötjük a ${\displaystyle O}$ középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek ${\displaystyle A}$-nál lévő szöge ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$, mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ szöggel szemközti befogója éppen ${\displaystyle \rho }$ hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint ${\displaystyle a=y+z}$, ${\displaystyle b=x+y}$, ${\displaystyle c=x+z}$ (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az ${\displaystyle ABC}$ háromszög félkerületének hossza így ${\displaystyle s=x+y+z}$, amiből az ${\displaystyle ATO}$ háromszög ${\displaystyle AT}$ befogójára ${\displaystyle AT=x=s-(y+z)=s-a}$ adódik. Az ${\displaystyle ATO}$ háromszögben pedig

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {AT}{OT}}={\frac {s-a}{\rho }}}$.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Kapcsolódó szócikkek

• Koszinusztétel
• Szinusztétel
• Tangenstétel
• Mollweide-formula

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap