Nullmátrix

Nullmátrix -vagy zérusmátrix- a matematikában, ezen belül a lineáris algebrában egy olyan mátrix, melynek minden eleme zéró (0). A nullmátrixot helyenként szokás (esetleg vastagon szedett) zéróval jelölni: ${\displaystyle 0_{m,n}}$ (az indexben a sorok illetve oszlopok száma szerepel).

Néhány példa:

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

A ${\displaystyle 0_{m,n}}$ nullmátrix az ${\displaystyle m\times n}$-es mátrixok additív csoportjának neutrális eleme. Egy nullmátrix és bármely vele összeszorozható mátrix szorzata nullmátrix.

Tulajdonságok

Az R gyűrű feletti ${\displaystyle m\times n}$-es mátrixok a mátrixösszeadásra és -szorzásra nézve gyűrűt alkotnak; jelölje ezt ${\displaystyle R_{m,n}}$. Ebben a gyűrűben a ${\displaystyle 0_{R_{m,n}}}$ nullmátrix is az a mátrix, amelynek minden eleme ${\displaystyle 0_{R}}$, ahol ${\displaystyle 0_{R}}$ az R zéruseleme.

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

A nullmátrix az ${\displaystyle R_{m,n}}$ gyűrű zéruseleme.^[1] Ez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely ${\displaystyle A\in R_{m,n}\,}$ mátrixra

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}+A=A+0_{R_{m,n}}=A.}$

A lineáris algebrában a nullmátrix azt a lineáris transzformációt reprezentálja, ami minden vektort a zéróvektorba (csupa nulla koordinátájú vektor) küld.^[2]

A mátrixszorzás definíciójából következően ha ${\displaystyle A\in R_{n,k}\,}$, akkor

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}A=0_{R_{m,k}}}$

Speciálisan ha m = n, akkor a négyzetes ${\displaystyle 0_{R_{m,m}}}$ mátrix idempotens mátrix, azaz a négyzete önmaga.

A nullmátrix az egyetlen olyan mátrix, aminek rangja nulla. (Ez a rang definíciójának egyenes következménye.)

Lásd még

• Egységmátrix
• Nilpotens mátrix