From Wikipedia, the free encyclopedia
A szabályos oktaéder az öt szabályos test egyike. 8 egyenlő oldalú háromszög lapja, 12 éle és 6 csúcsa van.
Egyenlő oldalú négyzet alapú bipiramis, és egyenlő oldalú antiprizma.
Nevezetes nem szabályos oktaéderek:
A szabályos oktaéder ezek speciális esete.
A konkáv Schönhardt-poliéder kombinatorikusan ekvivalens az oktaéderekkel. Arról nevezetes, hogy nem darabolható új csúcsok bevezetése nélkül tetraéderekre.
Általánosabban más nyolc lapú testek is nevezhetők oktaédernek. Konvex nyolc lapú poliéderből kombinatorikus ekvivalencia erejéig 257 létezik. A csúcsok száma szerint 2-nek 6, 11-nek 7, 42-nek 8, 74-nek 9, 76-nak 10, 38-nak 11, és 14-nek 12 csúcsa van.[1][2]
Ezek közül az ismertebbek:
A cikk a továbbiakban a szabályos oktaéderrel foglalkozik.
Egy a élű oktaéder esetén:
Eszerint az oktaéder térfogata négyszer akkora, mint az azonos élhosszú tetraéderé, felszíne pedig kétszerese a 8, illetve 4 háromszöglap miatt.
Ha az oktaéder egyenlete:
akkor térfogata és felszíne:
inerciatenzora:
Szabályos oktaéderre ez egyszerűsíthető, ha elvégezzük az
helyettesítést.
Az oktaédernek
van. Emellett középpontosan szimmetrikus. Szimmetriacsoportja (az oktaéder- vagy kockacsoport) összesen 48 elemű.
Egy origó közepű élhosszú oktaéder forgatható úgy, hogy csúcsai a tengelyekre essenek. Ekkor a csúcsok koordinátái:
Az x–y–z koordináta-rendszerben az (a, b, c) közepű, r sugarú oktaéder azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:
Duális teste a kocka.
Az oktaéder és a kocka segítségével további testek konstruálhatók, amelyeknek szimmetriacsoportja szintén az oktaédercsoport:
Az oktaéder az uniform oktaéderes poliéderek közé tartozik.
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) |
[1+,4,3] = [3,3] (*332) |
[3+,4] (3*2) | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,3} | t{4,3} | r{4,3} r{31,1} |
t{3,4} t{31,1} |
{3,4} {31,1} |
rr{4,3} s2{3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} | h{4,3} {3,3} |
h2{4,3} t{3,3} |
s{4,3} s{31,1} |
Az uniform poliéderek duálisai | ||||||||||
V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
Az oktaéder a {3,n} Schläfli-szimbólummal jellemezhető poliéderek és parkettázások sorozatába is beletartozik:
{3,2} |
{3,3} |
{3,4} |
{3,5} |
{3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3,9} |
... | (3,∞) |
A szabályos oktaéder rektifikált tetraéder, így tetratetraédernek is nevezhető, és a lapok felváltva való színezésével szemléltethető. Ezzel a színezéssel az oktaéder tetraéderes szimmetriájúvá válik.
Mindezek az alakzatok megkaphatók egy tesszerakt hosszú átlója menti metszetként. Az első öt alakzat az r, 3/8, 1/2, 5/8, és s magasságban metszhető ki, ahol r eleme (0,1/4]-nek, és s eleme [3/4,1)-nek.
A tetratetraéder megjelenik a kvázireguláris poliéderek és parketták között:
Szimmetria *n32 [n,3] |
Gömbi | Euklideszi | Hiperbolikus csempe | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] p6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3] |
*∞32 [∞,3] | |
Kvázireguláris alakzat Csúcsalakzat |
3.3.3.3 |
3.4.3.4 |
3.5.3.5 |
3.6.3.6 |
3.7.3.7 |
3.8.3.8 |
3.∞.3.∞ |
Duális (rombikus) alakzatok Lap konfiguráció |
V3.3.3.3 |
V3.4.3.4 |
V3.5.3.5 |
V3.6.3.6 |
V3.7.3.7 |
V3.8.3.8 |
V3.∞.3.∞ |
Háromszöges antiprizmaként az oktaéder a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába tartozik.
Szimmetria: diéder [6,2], (*622) | [6,2]+, (622) | [1+,6,2], (322) | [6,2+], (2*3) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,2} | t{6,2} | r{6,2} | 2t{6,2}=t{2,6} | 2r{6,2}={2,6} | rr{6,2} | tr{6,2} | sr{6,2} | h{6,2} | s{2,6} |
Uniform duálisok | |||||||||
V62 | V122 | V62 | V4.4.6 | V26 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V32 | V3.3.3.3 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
s{2,4} sr{2,2} |
s{2,6} sr{2,3} |
s{2,8} sr{2,4} |
s{2,10} sr{2,5} |
s{2,12} sr{2,6} |
s{2,14} sr{2,7} |
s{2,16} sr{2,8} |
s{2,18} sr{2,9} |
s{2,20} sr{2,10} |
s{2,22} sr{2,11} |
s{2,24} sr{2,12} |
s{2,2n} sr{2,n} |
Gömbi poliéderekként | |||||||||||
A szabályos oktaéder csúcsainak elhelyezkedése ugyanaz, mint a konkáv tetrahemihexaéderé, lapjai közül négy és az összes éle is a tetrahemihexaédert határolja.
Octahedron |
Tetrahemihexahedron |
Az oktaéder háromféleképpen színezhető uniform módon, amiket az 1212, 1112, 1111 számok kódolnak. Ez azt jelenti, hogy az oktaéder egy csúcsát körüljárva hogyan változnak a színek. A különböző számok különböző, az azonosak azonos színt jelentenek.
Az oktaéder szimmetriacsoportja a 48 elemű oktaédercsoport, ami a három dimenziós hiperoktaéder-csoport. Ez részcsoportként tartalmazza a 12 elemű D3d-at, ami a háromszög alapú antiprizma csoportja, és a 16 rendű D4h-t, ami a négyzet alapú bipiramis szimmetriacsoportja; és a 24 rendű Td-t, ami a rektifikált tetraéder szimmetriacsoportja. Ezek a csoportok az oktaéder lapjainak különféle színezésével mutathatók be.
Név | Oktaéder | Rektifikált tetraéder (Tetratetraéder) |
Háromszög alapú antiprizma | Négyzet alapú bipiramis | Rombikus fusil |
---|---|---|---|---|---|
Kép (Lapszínezés) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
|
Schläfli-szimbólum | {3,4} | t1{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
fs{2,4} { } + {4} |
fsr{2,2} { } + { } + { } |
Wythoff-szimbólum | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Szimmetria | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Szimmetriarend | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Az oktaédernek négy speciális merőleges vetülete van, középpontos, élközepes, csúcsos, lapközepes és lapnormális. A második és a harmadik megfelel az B2 és az A2 Coxeter-síkoknak.
Az oktaédergráf csúcsai az oktaéder csúcsainak, élei az oktaéder éleinek felelnek meg. A poliéder szimmetriái tükröződnek a gráfban, így az távolságreguláris, távolságtranzitív és szimmetrikus, automorfiacsoportjának rendje 48. A gráf Hamilton is, azaz van benne Hamilton-kör, ami minden csúcsán áthalad.
Az oktaédergráf 4-összefüggő, azaz legalább négy csúcsát kell eltávolítani ahhoz, hogy szétessen. A négy szimpliciálisan jól fedett poliéder egyike, vagyis az összes független csúcshalmaza azonos méretű. A többi ilyen tulajdonságú test a pentagonális bipiramis, a snub biszfenoid, és egy általános poliéder 12 csúccsal és 20 háromszöglappal (nem ikozaéder!).[3]
Az oktaéder általánosítható magasabb dimenziókra is; ezek a szabályos politópok keresztpolitóp néven ismertek. Az n dimenziós keresztpolitópnak 2n csúcsa van, és (n−1) dimenziós szimplex határolja. Például a 4 dimenziós keresztpolitópnak 8 csúcsa, 24 éle, 32 lapja és 16 térlapja van. Az egy dimenziós keresztpolitóp a szakasz, a két dimenziós a négyzet.
Az n dimenziós keresztpolitóp modellje az l1-normabeli egységgömb:
az Rn vektortérben.
A zárt n dimenziós keresztpolitóp:
hipersíkok határoznak meg, és az origót tartalmazzák.
Az n dimenziós keresztpolitóp térfogata , ahol r > 0 a keresztpolitóp l1 norma szerinti gömbi sugara. A képlet a Fubini-tétel segítségével teljes indukcióval bizonyítható.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.