az elfordulás nagysága From Wikipedia, the free encyclopedia
A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.
A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.
Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordináta-rendszerek és a koordináta-rendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak:
Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.
Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.
Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van:
Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.
A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.
Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg:
A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠
/∠
, TeX \angle
, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még »∡« (HTML ∡
/∡
, TeX \measuredangle
, U+2221). Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meredekség jelölésére használható »∠« is.
Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint:
![]() |
![]() |
A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:
amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.
A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.
Szögmérték | Mértékegység | 1 teljesszög = | Mértékegység jele |
---|---|---|---|
– | Teljesszög | 1 | |
Ívmérték | Radián | 2π | rad |
Fok | Fok (perc, másodperc) | 360 | ° ( ′ ″ ) |
Geodéziai szögmérték | Gradián (újfok) | 400 | gon (grad) |
Időmérték | Óra, perc, másodperc | 24 | h m s |
– | Tengerészeti vonás | 32 | ¯ |
– | Tüzérzeti vonás | 6400 | mil ( A‰ ) |
– | Százalék | nem lineáris | %, ‰ |
A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.
Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke
Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.
A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.
Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.
Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.
Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek és , akkor .
Ha ismertek az , és oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek és , akkor teljesül, hogy
Ha egy háromszög szögei , és , akkor . Ezért két szög meghatározza a harmadikat.
Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy . Az árkusz szinusz függvénnyel .
Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy . Az árkusz koszinusz függvénnyel .
Ha derékszögű koordináta-rendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok , , ! Ekkor és az pontból kiinduló vektorok, így . Itt skaláris szorzat és a vektorok hossza.
A tetraéderben előforduló szögek:
Ha egy egyenes egyenlete egy sík derékszögű koordináta-rendszerében , akkor hajlásszögét az tengelyhez -val jelölve:
Ez következik a tangens definíciójából. Az árkusz tangens használatával
Ha a tangens nem létezik, akkor , ami azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos az tengellyel, így hajlásszöge az tengelyhez 0.
Legyenek és egyenesek egy sík derékszögű koordináta-rendszerében a és pontokkal és és lineárisan független irányvektorokkal. Ha szögük , akkor
Az egyenesek merőlegesek, ha metszésszögük derékszög, tehát . Ez ekvivalens azzal, hogy irányvektoraik skalárszorzata 0. Ez azt jelenti, hogy .[1]
Ha a két egyenes és alakban van megadva, és egymással bezárt szögük , akkor az általuk közrezárt szög az tengellyel bezárt hajlásszögekből számítható:
Alkalmazva az addíciós tételt a tangensre:
Mivel és , azért következik, hogy:
Egybevetve
Alkalmazva az árkusz tangenst kapjuk, hogy
Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha . Ekkor az egyenletek nincsenek definiálva.[2]
Legyen az irányvektorú egyenes és az normálvektorú sík metszésszöge. Ekkor
Legyen és a két sík normálvektora! Ekkor a két sík metszésszöge
Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.
Összeadáskor úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk az első szögbe, amit meghosszabbítunk úgy, hogy a másik szög is odaférjen. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük az első szög melletti meghosszabbított körívre. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz.
Kivonáskor hasonlóan járunk el. Úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk a nagyobb szögbe. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük a nagyobb szögtartományban befelé. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz. Így kapjuk a szögek különbségét.
Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd a kapott metszéspontokból ugyanakkora környílással köríveket húzunk úgy, hogy messék egymást. A szög csúcsát összekötjük a metszésponttal. Így elfeleztük a szöget.
Szögharmadolás euklideszi szerkesztéssel nem lehetséges, azonban közelítő szerkesztések lehetségesek. Továbbá vannak más eszközök is, például a Tomahawk rajzeszköz, melyek lehetővé teszik a szögharmadolást.
Tetszőleges arányú osztáshoz olyan segédeszköz kell, amivel szögek és szakaszok egymással arányosan egymásra képezhetők. Ilyen például egy arkhimédészi spirál vagy Hippiász-féle kvadratiksz. Így a szakaszok és a szögek felosztása kölcsönösen átvihetők egymásba. Ezek az eszközök használhatók olyan sokszögek megrajzolásához, melyek nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóal.
Legyen az egyenes , és a pont !
Legyen ismét az egyenes , és a pont !
Egy alternatív szerkesztésmód:
A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.
Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.
Derékszög szerkesztésekor egy előre megadott, vagy felvett szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.
Nevezzük az egyenest -nek, és az adott pontot -nek!
Legyen ismét az egyenes, és az adott pont !
Legyen az egyenes továbbra is !
Nem kell a teljes köröket felrajzolni. Elég csak akkora köríveket behúzni, hogy a metszéspontok megtalálhatók legyenek.
Minél messzebb vesszük fel a segédpontokat, annál pontosabb lehet a szerkesztés, hiszen annál kisebb hatása van a behúzott vonalak vastagságának. Viszont ha nagy a távolság, akkor a körök laposabb szögben metszik egymást, ami növeli a pontatlanságot.
Hasonló szerkesztéssel lehet kijelölni szakaszfelező merőlegest: a szakasz végpontjai körül köröket húzunk egyforma sugárral, és összekötjük ezek metszéspontjait.
Habár 30 fokos szög megkapható a 60 fokos szög felezésével, azért 30 fokos szög egyszerűbben is szerkeszthető.
Legyen az egyenes , az adott pont !
Legyen az egyenes , az adott pont !
Egy alternatív szerkesztésmód a 60 fokos szög alternatív szerkesztésén alapul. Az ottani jelölésekkel az ötödik kör középpontú, -n átmenő kör, a 30 fokban metsző egyenes a egyenes.
Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.
Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:
Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.
Szerkeszthetők a fenti szögek, 90°, 60°, 72° illetve 54°; ezek összegei, különbségei, és felezéssel (ami tetszőleges számszor megismételhető) további szögek kaphatók. Például 3° kapható a következőképpen: . Általában szerkeszthetők azok a szögek, melyek szinusza (koszinusza) előáll egész számokból alapműveletekkel és négyzetgyökvonásokkal. Ez teljesül például minden olyan szögre, ami a 3°-os szög egész számú többszöröse: [3]