Unió (halmazelmélet)

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Definíció

Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ halmazok, akkor az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és ${\displaystyle A\cup B}$ (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek ${\displaystyle A}$ illetve ${\displaystyle B}$ közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}$.

Megjegyzés: Azt, hogy ${\displaystyle A\cup B}$ halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló ${\displaystyle \{A_{i}\,|\,i\in I\}}$ halmazrendszer elemeinek ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ unióját:

Legyenek ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle (i\in I)}$ tetszőleges halmazok, ahol ${\displaystyle I}$ tetszőleges indexhalmaz. Az ${\displaystyle A_{i}}$ halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid \exists i\in I:x\in A_{i}\}}$.

Tulajdonságok

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ halmazok esetén:

• ${\displaystyle A\cup A=A}$; (idempotencia)
• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$; (kommutativitás)
• ${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$; (asszociativitás^[1])

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$; (disztributivitás)
• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$; (disztributivitás)

továbbá:

• ${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$

További információk

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai