Vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik

A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

Az euklideszi téren

Az ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ halmazon értelmezett ${\displaystyle v}$ vektormező egy olyan leképezés, ami minden ${\displaystyle x\in \Omega }$ ponthoz egy ${\displaystyle v(x)\in \mathbb {R} ^{n}}$ vektort rendel, vagyis ${\displaystyle v\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$. Ha ${\displaystyle v}$ k-szor differenciálható, akkor a vektormező ${\displaystyle C^{k}}$-vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány ${\displaystyle x\in \Omega }$ pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák

• Középpontos vektormezők: Legyen ${\displaystyle I}$ intervallum, ami tartalmazza a nullát, és ${\displaystyle K(I)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\in I\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:

${\displaystyle v(x)=a(\|x\|)\cdot x}$ ha ${\displaystyle a:I\rightarrow \mathbb {R} }$.

• Az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\backslash \{0\}}$ téren a ${\displaystyle v(x)=-{\frac {x}{\|x\|^{3}}}}$ gravitációs mező középpontos vektormező.
• További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vektorpotenciáljuk, ahol is ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {rot\,\,} \mathbf {A} }$. Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
• Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ a skalármező, akkor gradiense

${\displaystyle x\mapsto \operatorname {grad} f(x)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x)\right)}$.

a nabla operátorral:

${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f.}$

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A ${\displaystyle \operatorname {grad} f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ vektormező skalárpotenciálja ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel

Egy kétszer folytonosan differenciálható ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )}$ vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )\equiv \mathbf {-grad_{\mathbf {r} }\,\,} \int _{\mathbb {R} ^{3}\,}\,d^{3}\mathbf {r} '\,{\frac {\mathrm {{div'}\,\,} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+\mathbf {rot_{\mathbf {r} }\,\,} \int _{\mathbb {R} ^{3}\,}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\,{\frac {{\mathbf {rot'\,\,} }\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,.}$

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának,^[1] ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt ${\displaystyle \mathbf {grad\,\,} \phi (\mathbf {r} ):=\nabla \phi \,,}$   ${\displaystyle \mathrm {div\,\,} \mathbf {v}$ :=\nabla \cdot \mathbf {v} } és ${\displaystyle \mathbf {rot\,\,} \mathbf {v}$ :=\nabla \times \mathbf {v} } az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon

Jelöljön ${\displaystyle M}$ differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a ${\displaystyle TM}$ érintőnyaláb sima szelései.

Pontosabban, ha a ${\displaystyle v}$ vektormező ${\displaystyle C^{k}}$-leképezés, akkor ${\displaystyle v:M\to TM}$ ahol ${\displaystyle \pi \circ v=\operatorname {id} _{M}}$. Minden ${\displaystyle x\in M}$ -hez egy ${\displaystyle v(x)\in T_{x}M}$ vektort rendel. A ${\displaystyle \pi }$ leképezés a ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$ természetes vetülete, ahol ${\displaystyle (p,v)\mapsto p}$.

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cong T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ és ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$.

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjához egy skalárt rendelnek.

Alkalmazások

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.