Viète-formulák

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen ${\displaystyle P\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$ egy n-edfokú polinom és ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+...+x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\&...\\&x_{1}x_{2}...x_{k}+x_{2}x_{3}...x_{k-1}x_{k+1}+...+x_{n-k+1}x_{n-k+2}...x_{n}=\left(-1\right)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\\&...\\&x_{1}x_{2}...x_{n}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\\\end{aligned}}\right.}$

A bizonyítása azon múlik, hogy a ${\displaystyle P\left(x\right)}$ polinom felírható ${\displaystyle P\left(x\right)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\cdot \left(x-x_{2}\right)\cdot \left(x-x_{3}\right)...\left(x-x_{n}\right)}$ gyöktényezős alakban.

Példák

Ha egy másodfokú ${\displaystyle P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c}$ polinom gyökei ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, akkor felírható ${\displaystyle P\left(x\right)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}$ gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\&x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}\right.}$

Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ megoldóképletéből is.

Harmadfokú ${\displaystyle P\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ polinom esetén gyöktényezős alakja ${\displaystyle P\left(x\right)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)}$, ahol ${\displaystyle x_{1,2,3}}$ a polinom gyökei és a Viète-formulák:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}\\&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}\\&x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}\\\end{aligned}}\right.}$

Általánosítása

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források

• Weisstein, Eric W.: Viète-formulák (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Többváltozós polinomok^{[halott link]}

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap