Մերսենի պարզ թվերի և կատարյալ թվերի ցանկ
Վիքիմեդիայի նախագծի ցանկ / From Wikipedia, the free encyclopedia
Թվերի տեսությունում Մերսենի պարզ թվերը և կատարյալ թվերը սերտորեն կապված բնական թվերի տեսակներ են։ Մերսենի պարզ թվերը (կոչվել են ի պատիվ Մաին Մերսենի) 2p − 1 տեսքի պարզ թվեր են, որտեղ p-ն որևէ դրական ամբողջ թիվ է։ Օրինակ, 3-ը Մերսենի պարզ թիվ է, քանի որ այն պարզ թիվ է և կարելի է ներկայացնել 22 − 1 տեսքով[1][2]։ Մերսենի պարզ թվերին համապատասխանող p թվերը պարզ են, սակայն գոյություն ունեն պարզ p թվեր, որոնք Մերսենի պարզ թվի չեն հանգեցնում, օրինակ՝ 211 − 1 = 2047 = 23 × 89[3]։ Կատարյալ թվերը բնական թվեր են, որոնք հավասար են իրենց դրական բաժանարարների գումարին՝ չհաշված տրված թիվը։ Այսպիսով, 6-ը կատարյալ թիվ է, քանի որ դրա բաժանարարներն են 1, 2 և 3՝ չհաշված 6-ը, և 1 + 2 + 3 = 6[2][4]։
Մերսենի պարզ թվերի և զույգ կատարյալ թվերի միջև գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Սա Էվկլիդես-Էյլերի թեորեմի ուղղակի հետևանք է, որը մասամբ ապացուցել է Էվկլիդեսը, իսկ հետագայում ամբողջությամբ՝ Լեոնարդ Էյլերը։ Ըստ թեորեմի՝ զույգ թվերը կատարյալ են այն և միայն այն դեպքում, երբ դրանց կարելի է ներկայացնել 2p − 1 × (2p − 1) տեսքով, որտեղ 2p − 1-ը Մերսենի պարզ թիվ է։ Այլ կերպ ասած, այս պահանջին բավարարող բոլոր թվերը կատարյալ են, և բոլոր զույգ կատարյալ թվերը բավարարում են այս պահանջին։ Օրինակ, p = 2 դեպքում 22 − 1 = 3-ը պարզ է, և 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6-ը կատարալ է[1][5][6]։
Հայտնի չէ, թե արդյոք գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ Մերսենի պարզ թվեր կամ զույգ կատարյալ թվեր[2][6]։ Ըստ Լենստրա-Պոմերանս-Վագստաֆի ենթադրության՝ տրված x թվից փոքր Մենսենի պարզ թվերի սպասված քանակը հավասար է (eγ / log 2) × log log x, որտեղ e-ն Էյլերի թիվն է, γ-ը՝ Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունը, իսկ log-ը՝ բնական լոգարիթմը[7][8][9]։ Հայտնի չէ, թե արդյոք կենտ կատարյալ թիվ գոյություն ունի, չնայած հնարավոր կենտ կատարյալ թվի վերաբերյալ բազմաթիվ պայմաններ են ապացուցվել, այդ թվում 101500 ստորին սահմանը[10]։
Այս ցանկում ներառված են այժմ հայտնի բոլոր Մերսենի պարզ թվերն ու կատարյալ թվերը, ինչպես նաև դրանց համապատասխանող p ցուցիչը։ 2023 թվականի դրությամբ հայտնի է 51 Մերսենի պարզ թիվ (և հետևաբար կատարյալ թիվ), որոնցից մեծագույն 17-ը հայտնաբերվել են «Մերսենի պարզ թվերի մեծ համացանցային որոնում» (անգլ.՝ Great Internet Mersenne Prime Search, անգլ.՝ GIMPS) նախագծի շնորհիվ[2]։ Նոր Մերսենի պարզ թվերը հայտնաբերվում են Լուկաս-Լեհմեր թեստի միջոցով (ԼԼԹ)[2]։
Համարը նշված է ըստ այժմ հայտնի տվյալների (2022 թվականի դրությամբ), սակայն հնարավոր է, որ հետագայում հայտնաբերվեն ավելի փոքր Մերսենի պարզ թվեր։ Ըստ GIMPS-ի՝ 2024 թվականի ապրիլի դրությամբ p = 67,279,841-ից փոքր բոլոր ցուցիչները ստուգվել և վավերացվել են[11]։ Ցանկում նշված է Մերսենի պարզ թվերի հայտնաբերման թվականն ու հայտնաբերողը, քանի որ կատարյալ թվերը կարելի է ստանալ Մերսենի պարզ թվերից (Էվկլիդես-Էյլերի թեորեմից)։ «GIMPS / անուն»-ով նշված թվերը հայտնաբերվել են GIMPS նախագծի շրջանակում՝ նշված անձի համակարգչով։ Վերջին թվերը չափազանց երկար են, այդ պատճառով նշված է միայն առաջին և վերջին վեց թվանշանները։
Համար | p | Մերսենի պարզ թիվ | Մերսենի պարզ թիվի նիշերի քանակ | Կատարյալ թիվ | Կատարյալ թվի նիշերի քանակ | Հայտնաբերվել է | Հայտնաբերող | Հայնաբերման մեթոդ | Ծան.[12] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | Երեք | 1 | Վեց | 1 | Հնագույն ժամանակներ[Ն 1] | Հայտնի էր հին հույն մաթեմատիկոսներին | Հայտնի չէ | [13][14][15] |
2 | 3 | Յոթ | 1 | 28 | 2 | [13][14][15] | |||
3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | [13][14][15] | |||
4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | [13][14][15] | |||
5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | Մոտ 1456[Ն 2] | Անանուն[Ն 3] | Հերթով բաժանում | [14][15] |
6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 1588 (1588)[Ն 2] | Պետրո Կատալդի | [2][18] | |
7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | [2][18] | |||
8 | 31 | 2147483647 | 10 | 230584...952128 | 19 | 1772 (1772) | Լեոնարդ Էյլեր | Հերթով բաժանումով (մոդուլային սահմանափակումներով) | [19][20] |
9 | 61 | 230584...693951 | 19 | 265845...842176 | 37 | Նոյեմբերի 1883 (Նոյեմբերի 1883) | Իվան Պերվուշին | Լուկասի հաջորդականություն | [21] |
10 | 89 | 618970...562111 | 27 | 191561...169216 | 54 | Հունիսի 1911 (Հունիսի 1911) | Ռալֆ Էռնեստ Փաուերս | [22] | |
11 | 107 | 162259...288127 | 33 | 131640...728128 | 65 | Հունիսի 1, 1914 (Հունիսի 1, 1914) | [23] | ||
12 | 127 | 170141...105727 | 39 | 144740...152128 | 77 | Հունվարի 10, 1876 (Հունվարի 10, 1876) | Էդուարդ Լուկաս | [24] | |
13 | 521 | 686479...057151 | 157 | 235627...646976 | 314 | Հունվարի 30, 1952 (Հունվարի 30, 1952) | Ռաֆայել Մ. Ռոբինսոն | ԼԼԹ, SWAC-ով | [25] |
14 | 607 | 531137...728127 | 183 | 141053...328128 | 366 | [25] | |||
15 | 1,279 | 104079...729087 | 386 | 541625...291328 | 770 | Հունիսի 25, 1952 (Հունիսի 25, 1952) | [26] | ||
16 | 2,203 | 147597...771007 | 664 | 108925...782528 | 1,327 | Հոկտեմբերի 7, 1952 (Հոկտեմբերի 7, 1952) | [27] | ||
17 | 2,281 | 446087...836351 | 687 | 994970...915776 | 1,373 | Հոկտեմբերի 9, 1952 (Հոկտեմբերի 9, 1952) | [27] | ||
18 | 3,217 | 259117...315071 | 969 | 335708...525056 | 1,937 | Սեպտեմբերի 8, 1957 (Սեպտեմբերի 8, 1957) | Հանս Ռիզել | ԼԼԹ, BESK-ով | [28] |
19 | 4,253 | 190797...484991 | 1,281 | 182017...377536 | 2,561 | Նոյեմբերի 3, 1961 (Նոյեմբերի 3, 1961) | Ալեքսանդր Հուրվից | ԼԼԹ, IBM 7090-ով | [29] |
20 | 4,423 | 285542...580607 | 1,332 | 407672...534528 | 2,663 | [29] | |||
21 | 9,689 | 478220...754111 | 2,917 | 114347...577216 | 5,834 | Մայիսի 11, 1963 (Մայիսի 11, 1963) | Դոնալդ Բ. Գիլլիս | ԼԼԹ, ILLIAC II-ով | [30] |
22 | 9,941 | 346088...463551 | 2,993 | 598885...496576 | 5,985 | Մայիսի 16, 1963 (Մայիսի 16, 1963) | [30] | ||
23 | 11,213 | 281411...392191 | 3,376 | 395961...086336 | 6,751 | Հունիսի 2, 1963 (Հունիսի 2, 1963) | [30] | ||
24 | 19,937 | 431542...041471 | 6,002 | 931144...942656 | 12,003 | Մարտի 4, 1971 (Մարտի 4, 1971) | Բրայանթ Թաքերման | ԼԼԹ, IBM 360/91-ով | [31] |
25 | 21,701 | 448679...882751 | 6,533 | 100656...605376 | 13,066 | Հոկտեմբերի 30, 1978 (Հոկտեմբերի 30, 1978) | Լենդոն Կուրտ Նոլլ և Լաուրա Նիկել | ԼԼԹ, CDC Cyber 174-ով | [32] |
26 | 23,209 | 402874...264511 | 6,987 | 811537...666816 | 13,973 | Փետրվարի 9, 1979 (Փետրվարի 9, 1979) | Լենդոն Կուրտ Նոլլ | [32] | |
27 | 44,497 | 854509...228671 | 13,395 | 365093...827456 | 26,790 | Ապրիլի 8, 1979 (Ապրիլի 8, 1979) | Հարրի Լ. Նելսոն և Դեյվիդ Սլովինսկի | ԼԼԹ, Cray-1-ով | [33][34] |
28 | 86,243 | 536927...438207 | 25,962 | 144145...406528 | 51,924 | Սեպտեմբերի 25, 1982 (Սեպտեմբերի 25, 1982) | Դեյվիդ Սլովինսկի | [35] | |
29 | 110,503 | 521928...515007 | 33,265 | 136204...862528 | 66,530 | Հունվարի 29, 1988 (Հունվարի 29, 1988) | Walter Colquitt & Luke Welsh | ԼԼԹ, NEC SX-2-ով | [36][37] |
30 | 132,049 | 512740...061311 | 39,751 | 131451...550016 | 79,502 | Սեպտեմբերի 19, 1983 (Սեպտեմբերի 19, 1983) | Դեյվիդ Սլովինսկի և ուրիշներ | ԼԼԹ, Cray X-MP-ով | [38] |
31 | 216,091 | 746093...528447 | 65,050 | 278327...880128 | 130,100 | Սեպտեմբերի 1, 1985 (Սեպտեմբերի 1, 1985) | ԼԼԹ, Cray X-MP/24-ով | [39][40] | |
32 | 756,839 | 174135...677887 | 227,832 | 151616...731328 | 455,663 | Փետրվարի 17, 1992 (Փետրվարի 17, 1992) | ԼԼԹ, Harwell Lab-ի Cray-2-ով | [41] | |
33 | 859,433 | 129498...142591 | 258,716 | 838488...167936 | 517,430 | Հունվարի 4, 1994 (Հունվարի 4, 1994) | ԼԼԹ, Cray C90-ով | [42] | |
34 | 1,257,787 | 412245...366527 | 378,632 | 849732...704128 | 757,263 | Սեպտեմբերի 3, 1996 (Սեպտեմբերի 3, 1996) | ԼԼԹ, Cray T94-ով | [43][44] | |
35 | 1,398,269 | 814717...315711 | 420,921 | 331882...375616 | 841,842 | Նոյեմբերի 13, 1996 (Նոյեմբերի 13, 1996) | GIMPS / Ջոել Արմենգաուդ | ԼԼԹ / Prime95, 90 MHz Intel pentium անձնական համակարգչով | [45] |
36 | 2,976,221 | 623340...201151 | 895,932 | 194276...462976 | 1,791,864 | Օգոստոսի 24, 1997 (Օգոստոսի 24, 1997) | GIMPS / Գորդոն Սփենս | ԼԼԹ / Prime95, 100 MHz Pentium պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [46] |
37 | 3,021,377 | 127411...694271 | 909,526 | 811686...457856 | 1,819,050 | Հունվարի 27, 1998 (Հունվարի 27, 1998) | GIMPS / Ռոլանդ Քլարկսոն | ԼԼԹ / Prime95, 200 MHz Pentium անձնական համակարգչով | [47] |
38 | 6,972,593 | 437075...193791 | 2,098,960 | 955176...572736 | 4,197,919 | Հունիսի 1, 1999 (Հունիսի 1, 1999) | GIMPS / Նայան Հաջրաթվալա | ԼԼԹ / Prime95, IBM Aptiva-ով (350 MHz Pentium II պրոցեսոր) | [48] |
39 | 13,466,917 | 924947...259071 | 4,053,946 | 427764...021056 | 8,107,892 | Նոյեմբերի 14, 2001 (Նոյեմբերի 14, 2001) | GIMPS / Մայքլ Քեմերոն | ԼԼԹ / Prime95, 800 MHz Athlon T-Bird պրոցեսրով անձնական համակարգչով | [49] |
40 | 20,996,011 | 125976...682047 | 6,320,430 | 793508...896128 | 12,640,858 | Նոյեմբերի 17, 2003 (Նոյեմբերի 17, 2003) | GIMPS / Մայքլ Շաֆեր | ԼԼԹ / Prime95, Dell Dimension անձնական համակարգչով (2 GHz Pentium 4 պրոցեսոր) | [50] |
41 | 24,036,583 | 299410...969407 | 7,235,733 | 448233...950528 | 14,471,465 | Մայիսի 15, 2004 (Մայիսի 15, 2004) | GIMPS / Ջոշ Ֆինդլի | ԼԼԹ / Prime95, 2.4 GHz Pentium 4 պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [51] |
42 | 25,964,951 | 122164...077247 | 7,816,230 | 746209...088128 | 15,632,458 | Փետրվարի 18, 2005 (Փետրվարի 18, 2005) | GIMPS / Մարտին Նովակ | [52] | |
43 | 30,402,457 | 315416...943871 | 9,152,052 | 497437...704256 | 18,304,103 | Դեկտեմբերի 15, 2005 (Դեկտեմբերի 15, 2005) | GIMPS / Կուրտիս Կուպեր և Սթիվեն Բուն | ԼԼԹ / Prime95, Կենտրոնական Միսսուրիի համալսարանում անձնական համակարգչով | [53] |
44 | 32,582,657 | 124575...967871 | 9,808,358 | 775946...120256 | 19,616,714 | Սեպտեմբերի 4, 2006 (Սեպտեմբերի 4, 2006) | [54] | ||
45 | 37,156,667 | 202254...220927 | 11,185,272 | 204534...480128 | 22,370,543 | Սեպտեմբերի 6, 2008 (Սեպտեմբերի 6, 2008) | GIMPS / Հանս-Մայքլ Էլվենիչ | ԼԼԹ / Prime95, անձնական համակարգչով | [55] |
46 | 42,643,801 | 169873...314751 | 12,837,064 | 144285...253376 | 25,674,127 | Հունիսի 4, 2009 (Հունիսի 4, 2009)[Ն 4] | GIMPS / Օդ Մագնար Ստրինդմո | ԼԼԹ / Prime95, 3 GHz Intel Core 2 պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [56] |
47 | 43,112,609 | 316470...152511 | 12,978,189 | 500767...378816 | 25,956,377 | Օգոստոսի 23, 2008 (Օգոստոսի 23, 2008) | GIMPS / Էդսոն Սմիթ | ԼԼԹ / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor | [55][57][58] |
48 | 57,885,161 | 581887...285951 | 17,425,170 | 169296...130176 | 34,850,340 | Հունվարի 25, 2013 (Հունվարի 25, 2013) | GIMPS / Կուրտիս Կուպեր | ԼԼԹ / Prime95, Կենտրոնական Միսսուրիի համալսարանում անձնական համակարգչով | [59][60] |
* | 67,242,060 | Ամենափոքր չվավերացված թիվը[Ն 5] | |||||||
49[Ն 6] | 74,207,281 | 300376...436351 | 22,338,618 | 451129...315776 | 44,677,235 | Հունվարի 7, 2016 (Հունվարի 7, 2016)[Ն 7] | GIMPS / Կուրտիս Կուպեր | ԼԼԹ / Prime95, Intel core i7-4790 պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [61][62] |
50[Ն 6] | 77,232,917 | 467333...179071 | 23,249,425 | 109200...301056 | 46,498,850 | Դեկտեմբերի 26, 2017 (Դեկտեմբերի 26, 2017) | GIMPS / Ջոնաթան Փեյս | ԼԼԹ / Prime95, Intel Core i5-6600 պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [63][64] |
51[Ն 6] | 82,589,933 | 148894...902591 | 24,862,048 | 110847...207936 | 49,724,095 | Դեկտեմբերի 7, 2018 (Դեկտեմբերի 7, 2018) | GIMPS / Պատրիկ Լարոշ | ԼԼԹ / Prime95, Intel Core i5-4590T պրոցեսորով անձնական համակարգչով | [65][66] |
* | 115,388,888 | Ամենափոքր չստուգված թիվը[Ն 5] |
Պատմականորեն մեծագույն հայտնի պարզ թիվը հաճախ եղել է Մերսենի պարզ թիվ։