From Wikipedia, the free encyclopedia
Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի[1]։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։
Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։
Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝
և կարդացվում է « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝
Ենթադրենք -ը իրական ֆունկցիա է իսկ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը
ինտուիտիվ նշանակում է, որ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ -ին՝ թիվը -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։
1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին[2], հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է -ին նշանակում է, որ ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ [2] Այս դեպքում «-ը ձգտում է -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը -ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն -երը, որոնք գտնվում են կամ միջակայքում, ինչը կարելի է գրել տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ [2]։
Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե ։ Տրված ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել կետում։
Օրինակ, եթե
ուրեմն -ը սահմանված չէ, բայց երբ -ը ձգտում է -ի, -ը ձգտում է -ի.
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | սահմանված չէ | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Հետևաբար, -ի արժեքը կարող է -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։
Այլ կերպ ասած, ։
Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական թվի համար ։
Քանի որ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել արժեքը, հետևաբար՝ ։
Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝
Շատ մեծ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝
Ենթադրենք -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե
որը կարդում են՝
Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ
Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ բացարձակ արժեքը -ի և -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։
Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ հաջորդականության սահմանը, երբ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.