Բաժանում (մաթեմատիկա)

Բաժանում (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։», թեք «${\displaystyle /}$» կամ հորիզոնական «—» գիծը։

20/4=5

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն

Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «${\displaystyle \,~/,~:,~-}$» ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

• Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
• Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր Acta eruditorum աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
• Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

${\displaystyle a:b=c}$ ․

${\displaystyle 6:3=2}$(«վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․

${\displaystyle 65:5=13}$(«վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

Հատկություններ

${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

• Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․

${\displaystyle a:b\neq b:a;}$

• Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։

${\displaystyle (a:b):c\neq a:(b:c);}$

• Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք^[1]

${\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}$

• ${\displaystyle x:1=x;}$
• ${\displaystyle 1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;}$

• ${\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}$

• ${\displaystyle x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}$

• ${\displaystyle x:(-x)=-1,\quad \exists$ !-x\in A,~x\neq 0.}

Թվերի բաժանում

Բնական թվերի

Օգտագործում ենք բնական ${\displaystyle \mathbb {N} }$ թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք ${\displaystyle C,A,B,R}$ դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները${\displaystyle [C],[A],[B],[R]}$։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

1. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]}$ -բաժանում հավասար մասերի․
2. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]}$-բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ ${\displaystyle A/B}$ դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

${\displaystyle B_{\alpha }=B_{\beta },}$${\displaystyle \quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,}$ ${\displaystyle \quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},}$ բոլոր գործակիցների համար ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C}$, այնպիսիք, որ ${\displaystyle \alpha \not =\beta$ ;}

${\displaystyle R}$-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը ${\displaystyle \{\emptyset \}\leqslant R<B}$,

Ամբողջ թվերի բաժանում

Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝ ${\displaystyle -7/(-3)=2}$ մնացորդը (-1) կամ ${\displaystyle -7\equiv 2{\pmod {3}}}$.

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

Ռացիոնալ թվերի բաժանում

Կոտորակների բաժանում․

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}}$

Իրական թվերի բաժանում

Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն^[2]։

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

Եթե ՝ ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ և ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, ապա դրանց քանորդ համարվում է ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, որը որոշվում է${\displaystyle \{a_{n}\}}$ և ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha$ :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]} ,

իրական ${\displaystyle \gamma =\alpha$ :\beta } թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q}$ ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').}

Այսպիսով, երկու իրական ${\displaystyle \alpha }$ և ${\displaystyle \beta }$ թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական ${\displaystyle \gamma }$ թիվը, որը գտնվում էբոլոր ${\displaystyle a':b'}$ տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից ${\displaystyle a'':b''}$քանորդների միջև^[3]։

${\displaystyle \gamma =\pi :e}$ բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

• Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
• Ստանում ենք՝ ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$․
• Բաժանում ենք սյունակով՝ ${\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}$․
• Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ ${\displaystyle \gamma \approx 1.156}$.

Տես նաև

• Բաժանելիության հայտանիշներ
• Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
• Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
• Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
• Մնացորդով բաժանում