Մեծ և փոքր կիսաառանցքներ

Մեծ կիսաառանցքը էլիպսի գլխավոր առանցքի ամենաերկար կիսաառանցքն է կամ առանցքի կեսը, և, հետևաբար, անցնում է կենտրոնով, կիզակետի միջով և դեպի պարագիծը:

Էլիպսի մեծ (a) և փոքր (b) կիսաառանցքները

Փոքր կիսաառանցքը Էլիպսի կամ հիպերբոլի համար գծի հատված է, որը ուղիղ անկյուն է կազմում մեծ կիսաառանցքի հետ և նրա մյուս ծայրը գտնվում է կոնական հատույթի կենտրոնում: Շրջանագծի հատուկ դեպքի համար երկու կիսաառանցքների երկարությունները հավասար են շրջանագծի շառավղին:

Երկրաչափության մեջ էլիպսի գլխավոր առանցքը նրա ամենաերկար տրամագիծն է. գծի հատված, որն անցնում է կենտրոնով և երկու ֆոկուսներով, որոնց ծայրերը գտնվում են պարագծի երկու ամենալայնորեն բաժանված կետերում:

Էլիպսի մեծ կիսաառանցքի a երկարությունը կապված է կիսաառանցքի b երկարության հետ՝ e էքսցենտրիսիտետով և կիսաֆոկալ առանցքով ${\displaystyle \ell }$, հետևյալ կերպ.

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Հիպերբոլի մեծ կիսաառանցքը, կախված գրառման տեսակից, երկու ճյուղերի միջև հեռավորության ± կեսն է։ Այսպիսով, այն կենտրոնից մինչև հիպերբոլի որևէ գագաթ հեռավորությունն է։

Պարաբոլը կարելի է ստանալ որպես էլիպսների հաջորդականության սահման, որտեղ մեկ կիզակետը պահվում է ֆիքսված, մինչդեռ մյուսը շարժվում է կամայականորեն հեռու մեկ ուղղությամբ՝ պահպանելով ${\displaystyle \ell }$-ը ֆիքսված։ Այսպիսով, a-ն և b-ն ձգտում են անվերջության, a-ն ավելի արագ, քան b-ն։

Մեծ և փոքր առանցքները կորի սիմետրիկության առանցքներն են: էլիպսում փոքր առանցքն ավելի կարճն է, հիպերբոլում դա ​​այն է, որը չի հատում հիպերբոլը։

Էլիպս

Էլիպսի հավասարումը հետևյալն է՝

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

որտեղ (h,k)-ը էլիպսի կենտրոնն է կոորդինատային համակարգում, որտեղ կամայական կետը տրված է (x,y)-ով։

Մեծ կիսաառանցքը էլիպսի կիզակետից առավելագույն և նվազագույն հեռավորությունների ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ և ${\displaystyle r_{\text{min}}}$ միջին արժեքն է, այսինքն՝ ֆոկուսից մինչև մեծ առանցքի ծայրերը եղած հեռավորությունների։

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

Աստղագիտության մեջ այս ծայրահեղ կետերը կոչվում են ապսիդներ.^[1]

Էլիպսի փոքր կիսաառանցքը հետևյալ հեռավորությունների միջին երկրաչափականն է՝

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

Էլիպսի էքսցենտրիսիտետը սահմանվում է որպես՝

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

հետևաբար,

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Այժմ դիտարկենք հավասարումը բևեռային կոորդինատներում, որտեղ մեկ կիզակետը գտնվում է սկզբնակետում, իսկ մյուսը՝ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ուղղությամբ.

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ և ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ միջին արժեքը, ${\displaystyle \theta =\pi }$ և ${\displaystyle \theta =0}$ դեպքում կազմում է

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

Էլիպսում մեծ կիսաառանցքը կենտրոնից մինչև կիզակետը և կենտրոնից մինչև որևէ դիրեկտրիքս հեռավորությունների միջին երկրաչափականն է։

Էլիպսի փոքր կիսաառանցքը ձգվում է էլիպսի կենտրոնից մինչև էլիպսի եզրը։ Կիսա-փոքր առանցքը փոքր առանցքի կեսն է։ Փոքր կիսաառանցքը գլխավոր առանցքին ուղղահայաց ամենաերկար գծային հատվածն է, որը միացնում է էլիպսի եզրի երկու կետերը։

Փոքր կիսաառանցքը b կապված է մեծ կիսաառանցքի a հետ՝ e էքսցենտրիսիտեի և կիսաֆոկալ առանցքի ${\displaystyle \ell }$-ի միջոցով, հետևյալ կերպ՝

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Պարաբոլ-ը կարելի է ստանալ որպես էլիպսների հաջորդականության սահման, որտեղ մեկ կիզակետը պահվում է ֆիքսված, մինչդեռ մյուսը շարժվում է կամայականորեն մեկ ուղղությամբ՝ պահպանելով ${\displaystyle \ell }$-ը ֆիքսված։ Այսպիսով, a-ը և b-ը ձգտում են անվերջության, a ավելի արագ, քան b-ը։

Փոքր կիսաառանցքի երկարությունը կարելի է գտնել նաև հետևյալ բանաձևի միջոցով՝^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

որտեղ f-ը կիզակետերի միջև հեռավորությունն է, p-ը և q-ը յուրաքանչյուր կիզակետից մինչև էլիպսի ցանկացած կետ հեռավորություններն են։

Հիպերբոլ

Հիպերբոլի մեծ կիսաառանցքը, կախված գրառման տեսակից, երկու ճյուղերի միջև հեռավորության ± կեսն է։ Եթե այն a-ն է ապա x-առանցքով, հավասարումը կլինի հետևյալը^[3]՝

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

էքսցենտրիսիտեի և կիսաֆոկալ առանցքի առումով՝

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}:}$

Հիպերբոլի լայնակի առանցքը համընկնում է մեծ առանցքի հետ^[4]:

Հիպերբոլում էլիպսի համակցված առանցքը կամ փոքր առանցքը ${\displaystyle 2b}$ երկարությամբ կարող է գծվել լայնակի առանցքին կամ մեծ առանցքին ուղղահայաց։ Վերջինս միացնում է հիպերբոլի երկու շրջադարձային կետերը (գագաթները): Այս երկու առանցքները հատվում են հիպերբոլի կենտրոնում։ Փոքր առանցքի ծայրակետերը ${\displaystyle (0,\pm b)}$ գտնվում են ասիմպտոտների բարձրության վրա՝ հիպերբոլի գագաթներից վերև/ներքև։ Փոքր առանցքի երկու կեսերը կոչվում են փոքր կիսաառանցք, b երկարությամբ։ Մեծ կիսաառանցքի երկարությունը (կենտրոնից մինչև գագաթնակետ հեռավորությունը) նշանակելով որպես a, մեծ և փոքր կիսաառանցքների երկարությունները հիպերբոլի հավասարման մեջ ներկայացված են այս առանցքների նկատմամբ հետևյալ կերպ.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Փոքր կիսաառանցքը նաև հիպերբոլի կիզակետերից մեկի մինչև ասիմպտոտայի հեռավորությունն է։ Այն անվանվում է հարվածի պարամետր, սա կարևոր է ֆիզիկայի և աստղագիտության մեջ և չափում է այն հեռավորությունը, որով մասնիկը կխուսափի կիզակետից, եթե նրա ընթացքը չի խանգարվում կիզակետում գտնվող մարմնի կողմից։

Մեծ և փոքր կիսաառանցքները կապված են էքսցենտրիսիտետի հետ հետևյալ կերպ.

{

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[5]

Պետք է հաշվի առնել, որ հիպերբոլում b-ն կարող է մեծ լինել a-ից^[6]:

Աստղագիտություն

Ուղեծրի պարբերություն

Որոշ Արեգակնային համակարգի մարմինների ուղեծրերի պարբերության T և մեծ կիսաառանցքի a (ապոկենտրոնի և պերիկենտրոնի միջինը) դիագրամ, որը ցույց է տալիս, որ a³/T² հաստատուն է (կանաչ գիծ): Կեպլերի երրորդ օրենքը ցույց է տալիս, որ այս գծի թեքությունը հաստատուն է տվյալ աստղային համակարգում, որը որոշվում է մայր աստղի (այստեղ՝ Արեգակի) զանգվածով:

Աստղադինամիկայում կենտրոնական մարմնի շուրջ շրջանաձև կամ էլիպտիկ ուղեծրով պտտվող փոքր մարմնի ուղեծրային պարբերությունը նշանակվում է T է^[1]:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

որտեղ.

a-ն ուղեծրի մեծ կիսաառանցքի երկարությունն է,

${\displaystyle \mu }$-ն կենտրոնական մարմնի ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է։

Նկատի ունեցեք, որ տրված մեծ կիսաառանցք ունեցող բոլոր էլիպսների համար ուղեծրային պարբերությունը նույնն է՝ անտեսելով դրանց էքսցենտրիսիտետը։

Կենտրոնական մարմնի շուրջ շրջանաձև կամ էլիպտիկ ուղեծրով պտտվող փոքր մարմնի տեսակարար անկյունային մոմենտը (h) կազմում է^[1]`

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

որտեղ՝

a-ն և ${\displaystyle \mu }$-ն կենտրոնական մարմնի ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է։

e-ն ուղեծրի էքսցենտրիսիտետն է։

Աստղագիտությունում մեծ կիսաառանցքը ուղեծրի ամենակարևոր տարրերից մեկն է՝ պարբերության հետ միասին։ Արեգակնային համակարգի մարմինների համար մեծ կիսաառանցքը կապված է ուղեծրի պարբերության հետ Կեպլերի երրորդ օրենքի համաձայն (իսկզբանե ստացվել է էմպիրիկորեն)^[1]:

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

որտեղ T-ն պարբերությունն է, իսկ a-ն՝ մեծ կիսաառանցքը։ Այս բանաձևը Նյուտոն կողմից սահմանված երկու մարմինների խնդրի ընդհանուր բանաձևի պարզ դեպքն է^[1]:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

որտեղ G-ն գրավիտացիոն հաստատունն է, M-ն կենտրոնական մարմնի զանգված-ը, իսկ m-ը՝ ուղեծրային մարմնի զանգվածը: Սովորաբար, կենտրոնական մարմնի զանգվածը այնքան մեծ է ուղեծրային մարմնի զանգվածից, որ m-ը կարող է անտեսվել: Այդ ենթադրությունը կատարելը և աստղագիտական ​​​​տիպիկ միավորների օգտագործումը հանգեցնում է Կեպլերի կողմից հայտնաբերված ավելի պարզ ձևի:

Ուղեծրով պտտվող մարմնի բարիկենտրոնի շուրջը պտտվող ուղին և ավելի մեծ մարմնի շուրջ հետագիծը էլիպսներ են^[1]: Աստղագիտության մեջ մեծ կիսաառանցքը երբեմն օգտագործվում է որպես առաջնային և երկրորդային մարմինների միջև հեռավորություն, երբ առաջնայինի և երկրորդայինի զանգվածների հարաբերակցությունը զգալիորեն մեծ է (${\displaystyle M\gg m}$). այսպիսով, մոլորակների ուղեծրային պարամետրերը տրվում են արևակենտրոն տերմիններով։ Առաջնակենտրոն և «բացարձակ» ուղեծրերի միջև տարբերությունը լավագույնս կարելի է պատկերել՝ դիտարկելով Երկիր-Լուսին համակարգը։ Այս դեպքում զանգվածների հարաբերակցությունը 7001813005900000000♠81.30059 է։ Երկիր-Լուսին հեռավորությունը, որը «երկրակենտրոն» լուսնային ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է, 384,400 կմ է։ Հաշվի առնելով լուսնային ուղեծրի էքսցենտրիսիտետը՝ «e» = 0.0549, նրա փոքր կիսաառանցքը 383,800 կմ է։ Այսպիսով, Լուսնի ուղեծիրը գրեթե շրջանաձև է: Մյուս կողմից, «բարիկենտրոնից» լուսնային ուղեծիրն ունի 379,730 կմ կիսաառանցք, տարբերությունը «երկրակենտրոնից» կազմում է 4,670 կմ։ Լուսնի միջին բարիկենտրոն ուղեծրային արագությունը 1.010 կմ/վ է, Երկրինը՝ 0.012 կմ/վ։ Այս արագությունների գումարը տալիս է 1.022 կմ/վրկ, որն էլ երկրակենտրոն լուսնային միջին ուղեծրային արագությունն է։ Նույն արժեքը կարելի է ստանալ՝ հաշվի առնելով միայն երկրակենտրոն կիսա-առանցքի արժեքը։

Միջին հեռավորություն

Հաճախ ասվում է, որ մեծ կիսաառանցքը էլիպսի հիմնական ֆոկուսի և պտտվող մարմնի միջև «միջին» հեռավորությունն է։ Սա լիովին ճշգրիտ չէ, քանի որ կախված է նրանից, թե միջինն ինչ մեծություններից է վերցված։ Պտտվող մարմնի ժամանակային և անկյան միջինացված հեռավորությունը կարող է տարբերվել 50-100%-ով ուղեծրային մեծ կիսաառանցքից՝ կախված էքսցենտրիսիտետից^[7]:

• Էքսցենտրիկ անոմալիայի դեպքում հեռավորության միջինացումը իսկապես հանգեցնում է մեծ կիսաառանցքի։
• Իրական անոմալիայի (իրական ուղեծրային անկյուն, չափված ֆոկուսում) դեպքում միջինացումը հանգեցնում է փոքր կիսաառանցքի ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$-ի։
• Միջին անոմալիայի (պերիկենտրոնից անցած ուղեծրային պարբերության մասնաբաժինը, արտահայտված որպես անկյուն) դեպքում միջինացումը տալիս է ժամանակային միջին ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$-ը։

Շառավղի հակադարձը՝ ${\displaystyle r^{-1}}$ կազմում է ժամանակային միջինացված արժեքի ${\displaystyle a^{-1}}$։

Մեծ կիսաառանցքի էներգիայի հաշվարկը վիճակի վեկտորներից

Աստղադինամիկայում մեծ կիսաառանցքը a կարող է հաշվարկվել ուղեծրի վիճակի վեկտորներից՝

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

էլիպտիկ ուղեծրի համար, նույնը՝

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

Հիպերբոլիկ հետագծի համար՝

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

(Տեսակարար ուղեծրային էներգիա) և

${\displaystyle \mu =GM,}$

(Ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետր), որտեղ՝

v-ն ուղեծրային արագությունն է արագության վեկտորից,

'r-ն ուղեծրային մարմնի դեկարտյան դիրքի վեկտորն է հաշվարկման համակարգի կոորդինատներում, որոնց նկատմամբ պետք է հաշվարկվեն ուղեծրի տարրերը (օրինակ՝ Երկրի շուրջ ուղեծրի համար երկրակենտրոն հասարակածային, կամ Արեգակի շուրջ ուղեծրի համար արևակենտրոն խավարածրային),

G-ն գրավիտացիոն հաստատունն է,

M-ն կենտրոնական մարմնի զանգվածն է, իսկ

${\displaystyle \varepsilon }$-ն ուղեծրային մարմնի տեսակարար էներգիան է։

Նկատի ունեցեք, որ տրված ընդհանուր զանգվածի համար տեսակարար էներգիան և կիսաառանցքը միշտ նույնն են՝ անկախ էքսցենտրիսիտետից կամ զանգվածների հարաբերակցությունից։ Հակառակը, տրված ընդհանուր զանգվածի և կիսաառանցքի համար ընդհանուր տեսակարար ուղեծրային էներգիան միշտ նույնն է։

Մոլորակների ուղեծրերի մեծ և փոքր կիսաառանցքները

Մոլորակների ուղեծրերը միշտ նշվում են որպես էլիպսների վառ օրինակներ (Կեպլերի առաջին օրենք)։ Այնուամենայնիվ, մեծ և փոքր կիսաառանցքների միջև նվազագույն տարբերությունը ցույց է տալիս, որ դրանք գործնականում շրջանաձև տեսք ունեն։ Այդ տարբերությունը (կամ հարաբերակցությունը) հիմնված է էքսցենտրիսիտետի վրա և հաշվարկվում է որպես ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$, որը մոլորակների բնորոշ էքսցենտրիսիտետների համար շատ փոքր արդյունքներ է տալիս։

Էլիպտիկ ուղեծրերի ենթադրության պատճառը, հավանաբար, աֆելիոնի և պերիհելիոնի միջև մեծ տարբերության մեջ է։ Այդ տարբերությունը (կամ հարաբերակցությունը) նույնպես հիմնված է էքսցենտրիսիտետի վրա և հաշվարկվում է որպես ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$։ Աֆելիոնի և պերիհելիոնի միջև մեծ տարբերության պատճառով Կեպլերի երկրորդ օրենքը հեշտությամբ պատկերացվող է։

	Էքսցենտրիսիտետ	Մեծ կիսաառանցք a (ԱՄ)	Փոքր կիսաառանցք b (ԱՄ)	Տարբերություն (%)	Պերիհելի (ԱՄ)	Ապոհելի (ԱՄ)	Տարբերություն (%)
Մերկուրի	0,206	0,38700	0,37870	2,2	0,307	0,467	52
Վեներա	0,007	0,72300	0,72298	0,002	0,718	0,728	1,4
Երկիր	0,017	1,00000	0,99986	0,014	0,983	1,017	3,5
Մարս	0,093	1,52400	1,51740	0,44	1,382	1,666	21
Յուպիտեր	0,049	5,20440	5,19820	0,12	4,950	5,459	10
Սատուրն	0,057	9,58260	9,56730	0,16	9,041	10,124	12
Ուրան	0,046	19,21840	19,19770	0,11	18,330	20,110	9,7
Նեպտուն	0,010	30,11000	30,10870	0,004	29,820	30,400	1,9

1 ԱՄ (աստղագիտական միավոր) հավասար է 149,6 միլիոն կմ: