Վիետի թեորեմ

Վիետի թեորեմ, թեորեմ քառակուսային հավասարումների մասին։ Թեորեմը ձևակերպել է ֆրանսիացի գիտնական, մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (1540-1603)^[1]։

Ֆրանսուա Վիետ

Թեորեմ

Եթե բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը (դիսկրիմինանտը) ոչ բացասական է, ապա այդ հավասարման արմատների գումարը հավասար է x-ի գործակցին` վերցված հակադիր նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։

Օրենքներ

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,}$

Եթե դիսկրիմինանտը ոչ բացասական է.

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

Հակադարձ թեորեմ

Վիետի թեորեմը կարելի է ձևակերպել նաև ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարման համար.

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$

Եթե ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարումն ունի ոչ բացասական տարբերիչ և եթե երկու x-երը հավասարման արմատներն են, ապա՝ ${\displaystyle x_{1}=1}$ և ${\displaystyle x_{2}=7}$

${\displaystyle x_{1}=3}$ և ${\displaystyle x_{2}=5}$

Տես նաև

• Թալեսի թեորեմ
• Քառակուսային հավասարում