Aturan L'Hôpital

Dalam kalkulus, Aturan L'Hôpital merupakan sebuah teknik derivatif (turunan) yang berguna untuk menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau penerapan berulang) aturan ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tentu. Dengan demikian, nilai suatu limit dapat dengan mudah ditentukan. Aturan ini paling sering digunakan dalam bidang fisika, ekonomi dan masih banyak lagi.

Contoh penerapan aturan L'Hopital untuk fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = −0.5x. Fungsi h(x) = f(x)/g(x) tidak terdefinisi pada x = 0 namun dapat dibuat menjadi sebuah fungsi kontinu di setiap R dengan mendefinisikan h(0) = f′(0)/g′(0) = −2.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g yang dapat diturunkan pada selang terbuka I, bisa jadi terdapat suatu titik c dalam selang I yang tidak terdefinisi. Jika

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ atau }}\pm \infty ,}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ untuk semua x di I dengan x ≠ c,

dan

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ada,

maka

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Sejarah

Guillaume de l'Hôpital (juga ditulis l'Hospital^[a]) mempublikasikan aturan ini pada bukunya yang terbitkan pada tahun 1696 berjudul Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (terjemahan Inggris: Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines), buku teks pertama dalam ilmu kalkulus diferensial.^[1][2] Meskipun demikian, aturan ini diyakini pertama kali ditemukan oleh matematikawan dari Swiss bernama Johann Bernoulli.^[3][4]

Bentuk umum

Bentuk umum dari aturan L'hopital dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak kasus. Misal c dan L berupa bilangan real yang diperluas (bilangan real, tak hingga positif, atau tak hingga negatif)^[5] dan I merupakan selang terbuka yang mengandung c atau selang terbuka dengan akhiran c (untuk limit sepihak atau limit di tak hingga dengan c tak hingga). Fungsi f dan g diasumsikan dapat diturunkan pada I, tetapi kemungkinan tidak dapat diturunkan pada c, dan ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ pada I namun kemungkinan tidak pada c. Diasumsikan pula bahwa ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ Dengan demikian, aturan ini dapat diterapkan ketika rasio turunan memiliki jumlah hingga maupun tak hingga, tetapi tidak ketika rasio turunan mengalami fluktuasi permanen saat x semakin mendekat ke c.

Apabila

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

atau

${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$

maka

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}$

Meskipun kita menulis x → c, limit di atas bisa saja berupa limit sepihak (x → c⁺ atau x → c⁻).

Catatan

1. Pada abad ke-17 dan ke-18, nama ini umumnya dieja "l'Hospital". Ia sendiri mengeja namanya menggunaan ejaan tersebut. Meskipun demikian, Ejaaan Prancis telah berubah: huruf "s" telah dihapus dan diganti dengan sirkompleks pada huruf sebelumnya.