Isometri

Artikel ini bukan mengenai proyeksi isometris.

Dalam matematika, isometri (atau kekongruenan, atau tranformasi (yang) kongruen) adalah tranformasi yang mempertahankan jarak antar ruang metrik, dan umumnya diasumsikan bersifat bijektif.^[1]

Komposisi dari dua isometri tidak langsung adalah komposisi langsung. Refleksi terhadap garis seperti R ₁ dan R ₂ pada gambar, adalah isometri tidak langung; sedangkan translasi T adalah isometri langsung.^[2]

Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah transformasi yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik hasil pemetaan sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada ruang Euklides dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan kongruen jika terdapat hubungan isometri di antara keduanya;^[3] isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.

Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, pelengkap dari ruang metrik ${\displaystyle M}$ membutuhkan isometri dari ${\displaystyle M}$ ke ${\displaystyle M'}$, sebuah himpunan hasil bagi dari ruang barisan Cauchy pada ${\displaystyle M}$. Ruang metrik asal ${\displaystyle M}$ tersebut secara isometris isomorfik terhadap sebuah sub ruang dari ruang metrik lengkap, dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang vektor bernorma; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang Banach.

Operator linear surjektif yang isometrik pada ruang Hilbert disebut dengan operator uniter.

Definisi

Anggap ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah ruang metrik dengan metrik ${\displaystyle d_{X}}$ dan ${\displaystyle d_{Y}}$. Pemetaan ${\displaystyle f:X\to Y}$ dikatakan isometri atau mempertahankan jarak jika untuk setiap ${\displaystyle a,b\in X}$ berlaku

${\displaystyle d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).}$^[4]

Sebuah isometri pasti injektif;^[1] karena jika tidak, ada dua titik ${\displaystyle a,b\in X}$ berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar aksioma metrik ${\displaystyle d_{X}}$. Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa embedding terurut antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

Sebuah isometri global, isometri yang isomorfik, atau pemetaan kekongruenan, adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki fungsi invers. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.

Dua ruang metrik ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ dikatakan isometrik jika terdapat isometri yang bijektif dari ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle Y}$. Himpunan isometri bijektif (dan komposisinya) dari ruang metrik ke dirinya sendiri membentuk sebuah grup, yang disebut grup isometri.

Terdapat istilah isometri lintasan yang lebih lemah daripada isometri. Isometri lintasan adalah pemetaan yang mempertahankan panjang kurva; pemetaan tersebut belum tentu mempertahankan jarak seperti isometri, dan tidak perlu bersifat bijektif (atau bahkan injektif). Istilah ini terkadang disebut juga dengan isometri, sehingga diperlukan konteks tipe isometri yang sedang dirujuk. Sebagai contoh:

• Setiap refleksi, translasi, dan rotasi adalah isometri global pada ruang Euklides.
• Pemetaan ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ di ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ adalah isometri lintasan yang bukan isometri.

Isometri antar ruang bernorma

Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.

Definisi:^[5] Titik tengah antara dua elemen x dan y di suatu ruang vektor adalah vektor 12(x + y).

Theorem^[5][6] — Anggap A : X → Y sebagai isometri yang surjektif antar ruang vektor bernorma dan memetakan 0 to 0 (Stefan Banach menyebut pemetaan ini rotasi); tidak ada asumsi bahwa A berupa isometri yang linear. Maka A memetakan titik tengah ke titik tengah, dan bersifat linear sebagai sebuah pemetaan atas bilangan real ℝ. Jika X dan Y adalah ruang vektor kompleks maka pemetaan A mungkin tidak linear atas ℂ.

Isometri linear

Untuk ruang vektor bernorma ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$, isometri linear adalah pemetaan linear ${\displaystyle A:V\to W}$ yang mempertahankan norma:

${\displaystyle \|Av\|=\|v\|}$

untuk setiap ${\displaystyle v\in V}$.^[7] Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global jika dan hanya jika juga bersifat surjektif. Pada ruang hasil kali dalam, definisi di atas dapat disederhanakan menjadi

${\displaystyle \langle Av,Av\rangle =\langle v,v\rangle }$

untuk setiap ${\displaystyle v\in V}$, yang secara ekuivalen menyatakan bahwa ${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}}$. Hal ini juga mengimplikasikan isometri mempertahankan hasil kali dalam, karena

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .}$

Isometri linear belum tentu termasuk operator uniter, karena masih diperlukan sifat tambahan ${\displaystyle V=W}$ dan ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}}$.

Berdasarkan teorema Mazur–Ulam, setiap isometri pada ruang vektor ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bernorma bersifat affine. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai matriks uniter.^{[8][9][10][11]}

Lipatan

Isometri pada sebuah lipatan adalah pemetaan mulus dari lipatan tersebut ke dirinya sendiri, atau ke lipatan lain, yang mempertahankan konsep jarak antar titik. Definisi isometri memerlukan konsep metrik pada lipatan: lipatan dengan metrik definit positif adalah lipatan Rieman, dan dengan metrik indefinit adalah lipatan Riemann semu. Karena itu, isometri dibahas di geometri Riemann.

Generalisasi

Untuk bilangan real positif ε, sebuah ε-isometri atau hampir isometri (juga disebut dengan hampiran Hausdorff) adalah pemetaan ${\displaystyle f:X\to Y}$ antar ruang metrik dengan sifat:

• untuk setiap ${\displaystyle x_{a},x_{b}\in X}$ berlaku ${\displaystyle |d_{Y}\!\left(f(x_{a}),f(x_{b})\right)-d_{X}(x_{a},x_{b})|<\varepsilon }$, dan
• untuk setiap ${\displaystyle y\in Y}$ terdapat ${\displaystyle x\in X}$ yang memenuhi ${\displaystyle d_{Y}\!\left(y,f(x)\right)<\varepsilon }$

Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat kontinu.