Matriks dasar

Dalam matematika, matriks dasar atau matriks elementer adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GL_n(F) dengan F adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili operasi baris dasar, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili operasi kolom dasar.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, namun dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan ${\displaystyle R_{i}}$ menyatakan baris ke-${\displaystyle i}$ dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran baris

Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Perkalian baris

Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai penskalaan suatu baris.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{dengan }}k\neq 0}$

Penambahan baris

Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{dengan }}i\neq j}$

Matriks elementer

Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas. Jika ${\displaystyle \mathbf {E} }$ adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan ${\displaystyle \mathbf {A} }$dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain, ${\displaystyle \mathbf {EA} }$.

Transformasi pertukaran baris

Lihat pula: Matriks permutasi

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah menukar baris ke-${\displaystyle i}$ dengan baris ke-${\displaystyle j}$. Matriks elementer ${\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}}$ yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke-${\displaystyle i}$ dengan baris ke-${\displaystyle j}$ matriks identitas:

${\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Jadi, matriks ${\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} }$ adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke-${\displaystyle i}$ dengan baris ke-${\displaystyle j}$ matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain, ${\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}^{-1}=\mathbf {T} _{i,j}}$. Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa ${\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j})=-1}$. Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$, berlaku hubungan ${\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )}$

Transformasi perkalian baris

Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke-${\displaystyle i}$ matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dengan skalar ${\displaystyle m}$ yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke-${\displaystyle i}$-nya bernilai ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Jadi, matriks ${\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} }$ adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke-${\displaystyle i}$ matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dengan ${\displaystyle m}$.

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan ${\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)^{-1}=\mathbf {D} _{i}({\tfrac {1}{m}})}$. Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan ${\displaystyle m}$. Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berlaku hubungan ${\displaystyle \det(\mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} )=m\det(\mathbf {A} )}$.

Transformasi penambahan baris

Tipe terakhir operasi baris pada matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah menambahkan baris ke-${\displaystyle j}$ yang dikalikan dengan suatu skalar ${\displaystyle m}$ ke baris ke-${\displaystyle i}$. Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke-${\displaystyle (i,\,j)}$ bernilai ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Jadi, ${\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} }$ adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan ${\displaystyle m}$ kali baris ke-${\displaystyle j}$ ke baris ke-${\displaystyle i}$ matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Sedangkan ${\displaystyle \mathbf {AL} _{i,j}(m)}$ adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan ${\displaystyle m}$ kali kolom ke-${\displaystyle i}$ ke kolom ke-${\displaystyle j}$ matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan ${\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)^{-1}=\mathbf {L} _{i,j}(-m)}$. Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan ${\displaystyle \det(\mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )}$ untuk sembarang matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Referensi

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (Edisi 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (Edisi 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari asli tanggal 2009-10-31

• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (Edisi 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (Edisi 9th), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (Edisi 7th), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (Edisi 5th), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6