Lingkungan (matematika)

Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, lingkungan^[1][2][3], disebut juga persekitaran^[4][5] atau kitaran^[6] (bahasa Inggris: neighborhood, neighbourhood) merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep lingkungan terkait erat dengan konsep himpunan terbuka dan titik dalam. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut. Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

Suatu himpunan ${\displaystyle V}$ di bidang adalah lingkungan titik ${\displaystyle p}$ jika cakram kecil di sekitar ${\displaystyle p}$ termuat dalam ${\displaystyle V}$.

Definisi

Lingkungan suatu titik

Jika ${\displaystyle X}$ adalah ruang topologi dan ${\displaystyle p}$ adalah titik dalam ${\displaystyle X}$, lingkungan dari titik ${\displaystyle p}$ adalah himpunan bagian ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle X}$ yang memuat suatu himpunan terbuka ${\displaystyle U}$ yang memuat ${\displaystyle p,}$ sedemikian sehingga$${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$$Definisi ini ekuivalen dengan titik ${\displaystyle p\in X}$ yang termasuk interior topologis dari ${\displaystyle V}$ di dalam ${\displaystyle X.}$

Lingkungan ${\displaystyle V}$ tidak harus suatu himpunan terbuka dalam ${\displaystyle X}$. Akan tetapi ketika ${\displaystyle V}$ terbuka dalam ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle V}$ disebut lingkungan buka.^[7] Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.^[8]

Segiempat tertutup tidak mempunyai lingkungan pada sebarang sudut atau batasnya.

Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua lingkungan dari suatu titik disebut sistem lingkungan [en] pada titik.

Lingkungan suatu himpunan

Jika ${\displaystyle S}$ adalah subhimpunan dari suatu ruang topologis ${\displaystyle X}$, maka lingkungan dari ${\displaystyle S}$ adalah himpunan ${\displaystyle V}$ yang menyertakan suatu himpunan terbuka ${\displaystyle U}$ yang memuat ${\displaystyle S}$:$${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$Definisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan ${\displaystyle V}$ adalah lingkungan dari ${\displaystyle S}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle V}$ adalah lingkungan dari semua titik di dalam ${\displaystyle S.}$ Lebih lanjut, ${\displaystyle V}$ adalah lingkungan dari ${\displaystyle S}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle S}$ adalah subhimpunan dari interior dari ${\displaystyle V.}$ Suatu lingkungan dari ${\displaystyle S}$ yang juga subhimpunan terbuka dari ${\displaystyle X}$ disebut lingkungan buka dari ${\displaystyle S.}$ lingkungan dari suatu titik hanyalah kasus istimewa dari definisi ini.

Ruang metrik

Himpunan ${\displaystyle S}$ di bidang dan lingkungan seragam ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle S.}$

Dalam ruang metrik ${\displaystyle M=(X,d),}$ himpunan ${\displaystyle V}$ adalah lingkungan dari suatu titik ${\displaystyle p}$ jika terdapat suatu bola terbuka yang berpusat pada titik ${\displaystyle p}$ dan berjari-jari ${\displaystyle r>0}$, sehingga$${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$termuat di dalam ${\displaystyle V}$.

Himpunan ${\displaystyle V}$ disebut lingkungan seragam dari himpunan ${\displaystyle S}$ jika terdapat suatu bilangan positif ${\displaystyle r}$ sehingga untuk semua anggota ${\displaystyle p}$ dari ${\displaystyle S}$, $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$termuat di dalam ${\displaystyle V.}$

Lingkungan suatu bilangan ${\displaystyle a}$ berjari-jari ${\displaystyle \varepsilon }$pada garis bilangan real.

Mengikuti syarat yang sama. Untuk ${\displaystyle r>0}$, lingkungan ${\displaystyle S}$ berjari-jari ${\displaystyle r}$, yang dilambangkan ${\displaystyle S_{r}}$, adalah himpunan dari semua titik di dalam ${\displaystyle X}$ yang berjarak kurang daripada ${\displaystyle r}$ dari ${\displaystyle S}$. Definisi lainnya, ${\displaystyle S_{r}}$ adalah gabungan dari semua bola terbuka berjari-jari ${\displaystyle r}$ yang berpusat pada suatu titik di dalam ${\displaystyle S}$: $${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$Hal ini mengikuti secara langsung bahwa lingkungan berjari-jari ${\displaystyle r}$ adalah lingkungan seragam, dan bahwa suatu himpunan adalah lingkungan seragam jika dan hanya jika ia memuatu suatu lingkungan berjari-jari ${\displaystyle r}$ untuk suatu nilai ${\displaystyle r}$.

Contoh

Himpunan ${\displaystyle M}$ adalah lingkungan dari bilangan ${\displaystyle a}$, karena terdapat lingkungan titik ${\displaystyle a}$ berjari-jari ${\displaystyle \varepsilon }$, yang merupakan subhimpunan dari ${\displaystyle M}$.

Diketahui bahwa himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dengan ruang metrik Euklides biasa adalah suatu subhimpunan ${\displaystyle V}$ didefinisikan sebagai$${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$ maka ${\displaystyle V}$ adalah suatu lingkungan untuk himpunan bilangan asli ${\displaystyle \mathbb {N} }$, tetapi sayangnya bukan suatu lingkungan seragam dari himpunan itu.