Trigonometri bola

Trigonometri bola (bahasa Inggris: spherical trigonometry) adalah cabang geometri yang mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi serta sudut-sudut yang dibentuk oleh segitiga bola. Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk oleh tiga lingkaran besar (lingkaran yang pusatnya sama dengan pusat bola) pada permukaan bola.

Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk dari perpotongan tiga "lingkaran besar" dalam sebuah bola, seperti segitiga ABC dalam gambar. Trigonometri bola mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi dan sudut-sudut segitiga tersebut.

Rumus-rumus dalam trigonometri bola

Di antara rumus yang berlaku dalam sebuah segitiga bola dengan tiga sudut ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ dan tiga sisi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ adalah hukum kosinus, yaitu:

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!}$

hukum sinus, yaitu:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}},}$

dan hukum kotangen, yaitu:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(CT1)}}\quad &\cos b\,\cos C=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C,\\[0ex]{\text{(CT2)}}&\cos b\,\cos A=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A,\\[0ex]{\text{(CT3)}}&\cos c\,\cos A=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A,\\[0ex]{\text{(CT4)}}&\cos c\,\cos B=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B,\\[0ex]{\text{(CT5)}}&\cos a\,\cos B=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B,\\[0ex]{\text{(CT6)}}&\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C.\end{array}}}$

Sisi-sisi sebuah segitiga bola dapat diambil sinus dan kosinusnya, karena sisi-sisi tersebut sebenarnya adalah busur dari lingkaran besar sehingga dapat dinyatakan dalam satuan sudut seperti radian atau derajat.

Penerapan

Hisab arah kiblat

Lihat pula: Kiblat § Hisab dengan trigonometri bola

Rumus trigonometri bola dapat diterapkan untuk menghitung (hisab) arah kiblat dari koordinat tertentu. Untuk menghitungnya, digunakan segitiga bola ${\displaystyle \triangle UTQ}$ terdiri dari tiga titik: lokasi tempat tersebut ${\displaystyle T}$, lokasi kiblat ${\displaystyle Q}$, dan kutub utara adalah ${\displaystyle U}$. Arah kiblat adalah arah ${\displaystyle TQ}$, atau searah lingkaran besar yang melewati ${\displaystyle T}$ dan ${\displaystyle Q}$. Arah ini dapat juga dinyatakan sebagai sudut terhadap arah utara yaitu ${\displaystyle \angle UTQ}$ atau ${\displaystyle \angle q}$. Arah ini dapat dihitung sebagai fungsi dari posisi lintang setempat ${\displaystyle L_{T}}$, posisi lintang kiblat ${\displaystyle L_{Q}}$, serta selisih bujur antara lokasi setempat dengan lokasi kiblat${\displaystyle \Delta B}$.^[1]

Dari hukum kotangen trigonometri bola^[2] dapat diturunkan:

${\displaystyle \cot q={\frac {\sin L_{T}\cos \Delta B-\cos L_{T}\tan L_{Q}}{\sin \Delta B}}}$, atau
${\displaystyle q=\cot ^{-1}{\frac {\sin L_{T}\cos \Delta B-\cos L_{T}\tan L_{Q}}{\sin \Delta B}}}$^[1]

Arah kiblat dari suatu lokasi dapat dihitung dengan trigonometri bola. Ilustrasi penentuan arah kiblat dari Yogyakarta, Indonesia dengan metode ini.