Vektor koordinat

Matam Wilil, lahir di Kampung Tangumsili, Kabupaten Yalimo, Provinsi Papua Pegunungan pada 2 Februari 2004, merupakan anak ketiga dari lima bersaudara, buah hati pasangan Petrus Wilil dan Metina Siliamet. Ia tumbuh dalam keluarga sederhana dan dibesarkan di wilayah pedalaman Papua.

Mengawali pendidikan di SD Negeri Tangumsili dan lulus pada tahun 2016, Matam kemudian merantau ke Jayapura untuk melanjutkan pendidikan di SMP Bethany School, lalu ke SMA YPPK Taruna Darma dan lulus pada tahun 2022. Saat ini, ia tengah menempuh pendidikan di Fakultas Hukum Universitas Trisakti.

Sebagai mahasiswa, Matam aktif dalam berbagai organisasi dan kegiatan kepemudaan. Ia menjabat sebagai Ketua Bidang Organisasi Dewan Pengurus Komisariat (DPK) Gerakan Mahasiswa Nasional Indonesia (GMNI) Fakultas Hukum Universitas Trisakti periode 2023/2024. Selain itu, Matam juga dipercaya menjabat sebagai ketua Koordinator Wilayah Himpunan Mahasiswa Kabupaten Yalimo (HMKY) Se-Jabodetabek dan Banten untuk periode 2023–2025.

Selain dikenal sebagai aktivis mahasiswa, Matam juga aktif sebagai peneliti independen, dengan fokus perhatian pada isu-isu sosial, hukum, serta perjuangan keadilan bagi masyarakat Papua.

Motto hidup yang dipegang oleh Matam Wilil adalah: “Berjuang untuk keadilan, memberi manfaat bagi sesama, dan selalu mengutamakan kebenaran dalam setiap langkah.” Motto ini menjadi dasar dalam setiap tindakan dan pilihannya, baik dalam berorganisasi maupun berinteraksi dengan masyarakat.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle V}$ menjadi sebuah ruang vektor dimensi ${\displaystyle n}$ atas sebuah medan ${\displaystyle F}$ dan misalkan

$${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}}$$

menjadi sebuah basis terurut untuk ${\displaystyle V}$. Maka untuk setiap ${\displaystyle v\in V}$ terdapat sebuah kombinasi linear tunggal dari vektor basis yang sama dengan ${\displaystyle v}$:

$${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}}$$

Vektor koordinat ${\displaystyle v}$ relatif terhadap ${\displaystyle B}$ barisan koordinat.

$${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$$

Ini juga disebut wakilan ${\displaystyle v}$ terhadap ${\displaystyle B}$, atau ${\displaystyle B}$ mewakili ${\displaystyle v}$. ${\displaystyle \alpha }$ disebut koordinat ${\displaystyle v}$. Urutan dari basis menjadi penting disini, karena ini menentukan urutan di mana koefisiennya didaftarkan dalam vektor koordinat.

Vektor koordinat mengenai ruang vektor berdimensi hingga dapat diwakili oleh matriks sebagai vektor kolom atau baris. Di notasi di atas, salah satunya dapat tulis

$${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$$

atau

$${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\ldots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$$

Wakilan standar

Kita sekarang memekanisi transformasi di atas dengan mendefinisikan sebuah fungsi ${\displaystyle \phi _{B}}$, disebut wakilan standar ${\displaystyle V}$ terhadap ${\displaystyle B}$, yang mengambil setiap vektor ke wakilan koordinatnya: ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$. Maka ${\displaystyle \phi _{B}}$ merupakan sebuah transformasi linear dari ${\displaystyle V}$ ke ${\displaystyle F^{n}}$. Faktanya, ini merupakan sebuah isomorfisme, dan inversnya ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$ adalah sederhana

$${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}}$$

Secara alternatif, kita dapat mendefinisikan ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ menjadi fungsi di atas daro fungsi awalnya, mewujudkan bahwa ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ merupakan sebuah isomorfisme, dan mendefinisikan ${\displaystyle \phi _{B}}$ menjadi inversnya.

Contoh-contoh

Contoh 1

Misalkan P3 menjadi ruang dari semua polinomial aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu eksponen tertinggi ${\displaystyle x}$ bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:

$${\displaystyle B_{P}=\{1,x,x^{2},x^{3}\}}$$

memadankan

$${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

maka vektor koordinat berpadanan ke polinomial

$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$$

adalah

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}}$$

Menurut wakilan tersebut, operator pendiferensialan ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ yang kita akan tandai ${\displaystyle D}$ akan diwakili oleh matriks berikut:

$${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$$

Menggunakan metode tersebut mudah untuk meninjau sifat-sifat dari operator, seperti, keterbalikan, Hermite atau anti-Hermite atau tidak ada, dan banyak lagi.

Contoh 2

Matriks Pauli, yang mewakili operatorn spin ketika mengubah eigenkeadaan spin menjadi koordinat vektor.

Matriks transformasi basis

Misalkan ${\displaystyle B}$ dan ${\displaystyle C}$ menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor ${\displaystyle V}$, dan misalkan kita tandai dengan ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$, matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan ${\displaystyle C}$ dari vektor basis ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$.

$${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$$

Matriks ini dirujuk sebagai matriks transformasi basis dari ${\displaystyle B}$ dan ${\displaystyle C}$. Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas ${\displaystyle V}$. Setiap vektor ${\displaystyle v}$ diwakili dalam ${\displaystyle B}$ dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam ${\displaystyle C}$ sebagai berikut:${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}}$$

Jika ${\displaystyle E}$ merupakan basis standar, notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari ${\displaystyle B}$ ke ${\displaystyle E}$ mewakili

$${\displaystyle v=\lbrack M\rbrack ^{B}\lbrack v\rbrack _{B}}$$

dimana

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\lbrack v\rbrack _{E}\\\lbrack M\rbrack ^{B}&=\lbrack M\rbrack _{E}^{B}\end{aligned}}}$$

Di bawah transformasi basis, perhatikan bahwa superskripsi pada matriks transformasi, ${\displaystyle M}$, dan subskrip pada vektor koordinat, ${\displaystyle v}$, adalah sama, dan rupanya dibatalkan, meninggalkan subskrip yang tersisa. Meskipun ini disajikan sebagai sebuah bantuan ingatan, ini penting untuk memperhatikan bahwa tidak ada pembatalan, atau operasi matematis yang serupa, mengambil tempatnya.

Korolari

Matriks ${\displaystyle M}$ merupakan sebuah matriks terbalikkan dan ${\displaystyle M^{-1}}$ adalah matriks transformasi basis dari ${\displaystyle C}$ ke ${\displaystyle B}$. Dengan kata lain,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$$

Ruang vektor dimensi takhingga

Andaikan ${\displaystyle V}$ adalah sebuah ruang vektor berdimensi takhingga atas sebuah medan ${\displaystyle F}$. Jika dimensinya adalah ${\displaystyle \kappa }$, maka terdapat suatu basis unsur ${\displaystyle \kappa }$ untuk ${\displaystyle V}$. Setelah sebuah urutan dipilih, basisnya dapat dianggap sebuah basis terurut. Unsur ${\displaystyle V}$ adalah kombinasi linear hingga mengenai unsur dalam basis, yang memunculkan ke wakilan koordinat tunggal persis sebagai diutarakan sebelumnya. Yang hanya berubah adalah bahwa himpunan pengindkesan untuk korodinat bukanlah hingga. Karena sebuah vektor ${\displaystyle v}$ yang diberikan merupakan sebuah kombinasi linear hingga mengenai unsur basis, hanya entri-entri taknol dari vektor koordinat ${\displaystyle v}$ akan menjadi koefisien taknol dari kombinasi linear yang mewakili ${\displaystyle v}$. Demikian vektor koordnat untuk ${\displaystyle v}$ adalah nol kecuali dalam banyak entri.

Transformasi linear (mungkin) antara ruang vektor berdimensi takhingga dapat dimodelkan, secara analog ke kasus berdimensi hingga, dengan matriks takhingga. Kasus khusus dari transformasi ${\displaystyle V}$ ke ${\displaystyle V}$ digambarkan dalam artikel gelanggang linear penuh.

Lihat pula

• Penukaran basis