Cauchyruna

Cauchyruna er runa, nefnd eftir Augustin Louis Cauchy, þar sem fjarlægð tveggja samliggjandi staka minnkar eftir því farið er lengra frá fyrsta stakinu.

Ferill Cauchyrunu ${\displaystyle (x_{n}),}$ sýndur með blárri línu, sem ${\displaystyle n}$ móti ${\displaystyle x_{n}.}$ Ef rýmið er endanlegt þá lokast ferillinn í endapunkti (markgildi).

Ferill sem er ekki Cauchyruna. Ystu mörk ferilsins nálgast ekki.

Þetta má setja fram sem ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$, í firðrúmi sem hefur þann eiginleika að fyrir sérhverja jákvæða rauntölu ε > 0 er til náttúrleg tala N, þ.a. fyrir alla vísa m og n sem eru stærri en N gildi:

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .}$

þar sem ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})}$ táknar fjarlægðina milli ${\displaystyle x_{m}}$ og ${\displaystyle x_{n}}$.

Í fullkomnu firðrúmi hefur sérhver Cauchyruna markgildi í firðrúminu. Cauchyrunur gegna mikilvægu hlutverki í grannfræði og fallafræði.