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In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.
In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:
La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo è primo, o come sottoanello di un qualche campo.
La condizione che serve all'unico scopo di escludere l'anello banale con un solo elemento.
Se è un dominio d'integrità, il più piccolo campo che contiene come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di .
Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di , scritte nella forma , con e in e , tramite la relazione di equivalenza se e solo se e munendolo delle operazioni
Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui e sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.
Sia un dominio d'integrità.
In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in : in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in .
Se e sono elementi di un anello commutativo , diciamo che divide o è un divisore di o è un multiplo di se e solo se esiste un elemento in tale che . In questo caso scriviamo . Abbiamo le seguenti proprietà:
Gli elementi che dividono sono le unità di , e sono precisamente gli elementi invertibili di . Le unità dividono ogni altro elemento.
Se e , allora diciamo che e sono elementi associati; e sono associati se e solo se esiste un'unità tale che .
Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da ad un anello commutativo qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.
Le due definizioni coincidono su : un numero è irriducibile (o primo) se e solo se oppure è un numero primo.
Se è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che dove e sono elementi di . Allora divide . Quindi oppure perché è primo. Supponiamo , cioè . Quindi , ovvero . Poiché è un dominio di integrità e non è lo zero, abbiamo e quindi è un'unità. Quindi è irriducibile.
In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.
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