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Un'equazione diofantea quadratica è un'equazione diofantea di secondo grado in cui almeno un'incognita è presente al secondo grado e nessuna a un grado più elevato del secondo.
Tali equazioni comprendono, tra le altre, l'equazione di Pell e la ricerca delle terne pitagoriche.
Le equazioni
dove è un numero naturale, rappresentano il problema di rappresentare un intero positivo come somma rispettivamente di due, tre e quattro quadrati. Tale problema è stato studiato estesamente tra il XVII e il XVIII secolo, portando alla formulazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati e del teorema dei quattro quadrati; quest'ultimo asserisce che ogni numero può essere scritto come somma di quattro quadrati (ovvero, in altri termini, che la terza equazione ha soluzioni per ogni ), mentre il primo che l'equazione è risolubile se e solo se è prodotto di numeri primi nella forma e di quadrati di numeri primi nella forma nonché di una qualsiasi potenza di 2.
La seconda equazione ha invece soluzione se e solo se non è nella forma dove e sono numeri naturali qualsiasi. Tale affermazione fu congetturata da Legendre e dimostrata da Gauss nelle sue Disquisitiones Arithmeticae.
Una forma quadratica è un'espressione di secondo grado omogenea. Anche in questo caso si richiede di trovare per quali è risolubile l'equazione
o un suo equivalente con più di due variabili. La teoria di queste equazioni fu sviluppata inizialmente da Joseph-Louis Lagrange, e in seguito da Legendre e da Gauss.
L'equazione
rappresenta la traduzione algebrica del teorema di Pitagora: le terne (dette terne pitagoriche) possono essere considerate come i lati di un triangolo rettangolo. Si può dimostrare che tutte le soluzioni intere sono date dalle formule
al variare di , e negli interi.
Per studiare le soluzioni della generalizzazione di questa equazione
dove , e sono dei parametri intri non negativi, è necessario anche specificare delle condizioni per cui l'equazione è risolubile; in questo caso si dimostra che esistono condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità, ovvero che le congruenze
siano tutte risolubili. Detto in altro modo, si deve avere che sia un residuo quadratico modulo , che lo sia modulo , e che sia l'opposto di un residuo modulo ; usando il simbolo di Legendre le condizioni possono anche essere scritte
L'equazione di Pell è un'equazione nella forma
o, più generalmente, nella forma
dove è un parametro positivo ed è intero.
Si dimostra che se ed è libero da quadrati, allora l'equazione di Pell ha infinite soluzioni, calcolabili mediante l'uso della frazione continua di ; se una condizione necessaria, ma non sufficiente, della risolubilità, è che sia rappresentabile come somma di due quadrati. Inoltre per ogni , se l'equazione è risolubile, allora le soluzioni possono essere trovate esplicitamente mediante l'impiego della stessa frazione continua.
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