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In geometria, il limaçon (chiamato anche limaçon di Pascal, limaccia di Pascal, o chiocciola di Pascal) è una curva algebrica piana, dalla forma simile a quella di un cuore; nella sua versione più caratteristica, la curva presenta un anello che le conferisce una forma simile a quella del guscio di una chiocciola, da cui deriva il nome (dal francese limaçon e dal latino limax, che significano chiocciola).
Fu studiata originariamente da Albrecht Dürer nel suo lavoro del 1525 Underweysung der Messung (Istruzione sulla misurazione), dove sono descritti procedimenti metodi geometrici specifici per ottenere queste curve. Venne successivamente riscoperta da Étienne Pascal (padre di Blaise Pascal).
L'equazione del limaçon in coordinate polari è:
dove e sono due parametri reali positivi. È possibile utilizzare anche l'equazione , che produce la medesima curva ruotata di un angolo retto. In coordinate cartesiane l'equazione della curva è:
mentre in coordinate parametriche diventa:
Il limaçon è un caso particolare di epitrocoide, la curva generata da un punto fisso di un cerchio che ruota senza strisciare all'esterno di un altro cerchio di uguale raggio. Variando la posizione del punto fisso si ottengono diverse configurazioni della curva.
Sul piano complesso, il limaçon è il luogo dei punti che soddisfano l'equazione
Eseguendo una traslazione orizzontale di , si ottiene una equazione che evidenzia le proprietà di trocoide della curva:
Le caratteristiche della curva dipendono dai valori dei due parametri e ; si possono presentare i seguenti casi:
La superficie racchiusa dalla curva ha un'area di
se la curva non è intrecciata (); se la curva è intrecciata, l'area racchiusa dall'anello esterno vale
quella racchiusa nell'anello interno vale
l'area racchiusa tra i due anelli vale quindi:
Il limaçon si può ottenere tramite varie costruzioni a partire da altre curve:
Partendo dal limaçon si possono generare altre curve attraverso il procedimento di inversione circolare: l'inversa del limaçon rispetto alla circonferenza unitaria è la curva di equazione polare:
Questa equazione è quella di una sezione conica di eccentricità e fuoco nell'origine; se il limaçon non è intrecciato, si ottiene un'ellisse, se è intrecciato un'iperbole; come caso limite, l'inversa della cardioide è una parabola.
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