Nodo torico

In matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un nodo torico è un tipo di nodo, contenuto nella superficie del toro. Più in generale, un link torico è un link contenuto nella superficie torica.

Un nodo torico, specificato dal parametro (3,7).

Nomenclatura

Un link torico è identificato da una coppia di interi ${\displaystyle (p,q)}$: la coppia sta a indicare che il link "gira" ${\displaystyle p}$ volte lungo il "meridiano" del toro e ${\displaystyle q}$ volte lungo la "longitudine". Il link è effettivamente un nodo (cioè ha una sola componente connessa) se ${\displaystyle (p,q)}$ sono interi coprimi.

Diagramma del nodo torico ${\displaystyle (3,8)}$.

Un nodo di tipo ${\displaystyle (p,q)}$ può essere descritto concretamente come curva nello spazio nel modo seguente:

${\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle f(\theta )=\left(\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\cos \phi ,\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\sin \phi ,\sin \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right).}$

La curva giace nel toro determinato dall'equazione in coordinate cilindriche:

${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1.}$

Il nodo torico ${\displaystyle (p,q)}$ è banale se e solo se uno dei due interi ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ è uguale a 1. L'esempio più semplice di nodo torico non banale è quindi dato dalla coppia ${\displaystyle (2,3)}$: questo è il nodo a trifoglio.

Proprietà

Ogni nodo torico è primo. I nodi ${\displaystyle (p,q)}$ e ${\displaystyle (q,p)}$ sono equivalenti.

Il complementare del nodo torico ${\displaystyle (p,q)}$ ha gruppo fondamentale determinato dalla presentazione

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Questo gruppo ha un centro non banale, isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi, generato dall'elemento ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$. I nodi torici sono gli unici nodi il cui gruppo fondamentale ha un centro non banale.

Bibliografia

• (EN) Dale Rolfsen (1976). Knots and Links. Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0.

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