Polinomi ortogonali
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In matematica, una famiglia di polinomi per dove per ogni si ha un polinomio di grado , si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso positiva nell'intervallo scelto se
Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi e dia
Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:
- I polinomi di Hermite e , ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità.
- I polinomi di Čebyšëv di prima specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
- I polinomi di Čebyšëv di seconda specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
- I polinomi di Legendre, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità uniforme.
- I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
- I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
- I polinomi di Laguerre con , ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:
dove gli sono numeri interi nell'intervallo . Con questa definizione,
- i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con );
- i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con ).
Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.