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In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.
La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.
Il prodotto diretto di due gruppi (G1, *1), (G2, *2) è il gruppo (G1× G2, *×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G1×G2 dell'operazione *× definita da
con e appartenenti a e e appartenenti a .
Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile
Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.
infatti:
Se G1 e G2 sono scritti in notazione additiva, (G1× G2, +×) è anche detto somma diretta dei due gruppi.
rispettivamente. Infatti le due applicazioni
sono isomorfismi di gruppi.
Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.
Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gn. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zn e Rn a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.
Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra. Nel prodotto diretto ci sono divisori dello zero, infatti
Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:
Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.
L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kn, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.
Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.
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