Loading AI tools
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
Per serbatoio cilindrico s'intende una struttura piana (piastra) a semplice curvatura.
L'ipotesi iniziale riguarda il carico inteso assialsimmetrico, ovvero sia il carico che la geometria dell'elemento presentano simmetria assiali in corrispondenza di sezioni normali all'asse stesso.
Si schematizza il comportamento della struttura come delle travi longitudinali (meridiani) che sopportano la pressione interna, irrigidite dalle fibre trasversali (paralleli) Quindi il comportamento d'insieme può esser studiato attraverso lo schema di trave su suolo elastico alla Winkler, in cui il movimento di ogni elemento longitudinale è contrastato da molle. Per valutare come agiscono tali molle, occorre caratterizzare la costante di sottofondo , che associa il comportamento alla trave alla Winkler.
In un elemento infinitesimo, lo sforzo normale di parallelo dà luogo ad una risultante che per simmetria ha componente soltanto radiale e vale:
che altri non è che la forza radiale che si oppone allo spostamento e che rappresenta l'effetto molla. L'entità della deformazione assiale nata nei paralleli quando si dilatano di è pari a:
Essendo si ottiene:
Nota si può ricavare la componente radiale che genera l'effetto molla:
Si definisce quindi la costante di sottofondo e pertanto la fibra longitudinale può esser considerata a tutti gli effetti una trave su suolo alla Winkler, la cui equazione risolvente è del tipo:
Rispetto alla trave su suolo alla Winkler, il serbatoio cilindrico assume una costante di sottofondo e una rigidità flessionale differenti. Il comportamento assialsimmetrico della deformazione fa sì che le facce laterali della fibra longitudinale non presentino deformazioni, quindi c'è un aumento della rigidità flessionale che assume il seguente valore:
Il primo parametro è indicativo per l'acciaio, il secondo per il calcestruzzo.
Considerando il momento d'inerzia la rigidezza flessionale assume la forma .
Pertanto l'equazione differenziale diventa:
e ponendo l'equazione differenziale diventa:
Il valore di e riscontrabile attraverso la seguente relazione:
Data l'equazione del tipo si hanno due casi da analizzare:
Posto il carico del tipo . L'integrale particolare dovendo garantire l'equilibrio indefinito, sarà , che sostituito nell'equazione differenziale fondamentale
Pertanto l'integrale generale assume la seguente forma:
con ,
Considerando una posizione di tubo di dimensione unitaria lungo la direzione longitudinale, per l'equilibrio si ha:
detta formula di Mariotte, da cui si ricava l'espressione di deformazione e spostamento:
Confrontando questo risultato con l'integrale particolare , si può osservare che l'integrale, dal punto di vista fisico, rappresenta lo spostamento dovuto al solo sforzo di trazione nei paralleli (comportamento a membrana). Pertanto:
Estremità libera scarica
Estremità libera carica
Estremità appoggiata
Estremità incastrata
Per tubi indefinitamente lunghi l'espressione dell'integrale generale:
con ,
assume, come nel caso della trave su suolo elastico alla Winkler, una forma più semplice, dovuto al fatto che oltre un tratto dal punto di applicazione della causa perturbatrice, spostamenti e sue derivate si annullano, diventando:
In particolare il valore della lunghezza d'onda è pari a:
Per capire meglio il funzionamento del modello, si analizza l'esempio di un serbatoio cilindrico soggetto a carico idrostatico. Il dato del problema è il carico idrostatico ed è noto a priori il valore di . In questo caso possiamo ricondurre la casistica a due situazioni:
Caso con . Le perturbazioni che si hanno alla base si risentono fino all'estremità libera e viceversa, occorre quindi considerare la formula generale:
Le condizioni al contorno sono:
Caso con . Se la lunghezza d'onda è minore della distanza tra due cause di perturbazione, i campi degli spostamenti, sforzi e deformazioni possono essere ottenute come sovrapposizione di due analisi svolte con la teoria dei tubi infinitamente lunghi, dividendo in tre situazioni:
In conclusione un serbatoio caricato con carico isostatico, nelle zone attorno al bordo superiore (libero da vincoli) si ha comportamento a membrana cioè lavorano solo le fibre trasversali, mentre in prossimità del bordo inferiore (vincolato) si a comportamento a membrana e a flessione cioè lavorano sia le fibre trasversali, sia le fibre longitudinali.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.