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In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.
Essa è data dalla formula
espressione valida per .
Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.
Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.
La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con
In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):
la quale fornisce, in ragione e per :
Integriamo i membri da a :
e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente
per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per , possiamo integrare termine a termine:
Quindi abbiamo ottenuto:
Ponendo , la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni
Si verifica infatti che la serie
converge uniformemente anche nel punto (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione ammettono lo stesso limite per , cioè:
Questa si può considerare anche caso particolare relativo a della funzione eta di Dirichlet .
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