La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due :

Table info: Sezione aurea, Simbolo, Valore, Frazione cont...
Sezione aurea
Simbolo
Valore 1,6180339887...
(sequenza A001622 dell'OEIS)
Frazione continua [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
(sequenza A000012 dell'OEIS)
Insieme numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate Costante di Viswanath

Il segmento totale sta al segmento più lungo come quest'ultimo sta al segmento più corto :
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Rettangolo aureo.
I due lati del rettangolo stanno tra loro nel rapporto definito dalla sezione aurea così come i due segmenti (in azzurro) e (in rosso).

Tracciato infatti il quadrato di lato , si individua il punto medio della base e si traccia, come in figura, il segmento che congiunge il punto medio al vertice e che risulta essere di lunghezza pari a . Con un compasso si riporta il segmento sul prolungamento della base del quadrato individuando così il rettangolo di base e di altezza . La parte della base del rettangolo che eccede la base del quadrato fornisce il segmento .

Valgono pertanto le seguenti relazioni:

Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di possiamo anche scrivere

(1)

da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi

(2)

Delle due soluzioni dell'equazione, quella positiva (unica ammissibile, essendo una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:

      (3)

La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ossia non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.

I due segmenti e possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a e la sua altezza è pari ad : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.

Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a otteniamo la frazione continua:

Un'altra rappresentazione di come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:

Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni.[1] Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.