Teorema di Kakutani

In matematica, il teorema di Kakutani, il cui nome si deve a Shizuo Kakutani, è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori. Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Introduzione

Un'applicazione a più valori ${\displaystyle f}$ da un insieme ${\displaystyle X}$ a un insieme ${\displaystyle Y}$ è una legge che associa uno o più elementi di ${\displaystyle Y}$ ad ogni punto di ${\displaystyle X}$. Formalmente si può rappresentare come una funzione da ${\displaystyle X}$ all'insieme delle parti di ${\displaystyle Y}$, e scritta come ${\displaystyle f:X\to 2^{Y}}$.

Dati due spazi metrici ${\displaystyle X}$ ed ${\displaystyle Y}$, un'applicazione a più valori ${\displaystyle f:X\to 2^{Y}}$ si dice "chiusa" se per ogni successione ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ con ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$, ${\displaystyle y_{n}\to y_{0}}$ e ${\displaystyle y_{n}\in f(x_{n})}$, si ha ${\displaystyle y_{0}\in f(x_{0})}$.

Analogamente al caso delle funzioni tradizionali, per ${\displaystyle f:X\to 2^{X}}$ una funzione a più valori il punto ${\displaystyle a\in X}$ è un punto fisso di ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle a\in f(a)}$.

Enunciato

Sia dato uno spazio euclideo ${\displaystyle X}$ di dimensione finita, e sia ${\displaystyle K}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ compatto, convesso e non vuoto. Sia ${\displaystyle f\colon K\to 2^{K}}$ un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle f}$ è chiusa;
• per ogni ${\displaystyle x\in K}$, ${\displaystyle \ f(x)}$ è un sottoinsieme convesso non vuoto di ${\displaystyle K}$.

Allora ${\displaystyle f}$ ammette almeno un punto fisso in ${\displaystyle K}$.

Esempi

Sia ${\displaystyle f(x)}$ una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso ${\displaystyle [0,1]}$ che fa corrispondere al punto ${\displaystyle x}$ l'intervallo chiuso ${\displaystyle [1-x/2,1-x/4]}$. Allora ${\displaystyle f(X)}$ soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca ${\displaystyle f\colon [0,1]\to 2^{[0,1]}}$ che ad ogni ${\displaystyle x\in [0,1/2]}$ fa corrispondere il singleton ${\displaystyle \{1\}}$ e ad ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle [1/2,1]}$ fa corrispondere il singleton ${\displaystyle \{0\}}$, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale ${\displaystyle f}$ non ha punti fissi.

Bibliografia

• (EN) Shizuo Kakutani, A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem, in Duke Mathematical Journal, vol. 8, n. 3, 1941, pp. 457–459, DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
• (EN) Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
• (EN) Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate

• Funzione polidroma
• Punto fisso
• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teorema del punto fisso di Schauder
• Teorema di Ryll-Nardzewski
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

• Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)

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