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In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.
La trasformata di Cayley è stata inizialmente introdotta da Arthur Cayley come una mappa tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e quello delle matrici ortogonali speciali. In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme tale per cui l'immagine del semipiano complesso superiore è il disco unitario, mentre nella teoria degli spazi di Hilbert denota una trasformazione tra operatori lineari.
Si consideri lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione su , e sia una matrice antisimmetrica, cioè tale che . La matrice , dove denota la funzione identità, è in tal caso invertibile.
Si definisce trasformata di Cayley la matrice ortogonale speciale definita nel modo seguente:
Dal momento che la moltiplicazione fra matrici nella definizione è commutativa, la trasformata di Cayley può essere definita in modo equivalente come:
Viceversa, data una matrice ortogonale che non possiede -1 come autovalore, allora la matrice:
è antisimmetrica.
In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme dal piano complesso in sé data da:
Si tratta di una trasformazione lineare fratta, e può essere estesa ad un automorfismo definito sulla sfera di Riemann.
Tale funzione gode delle seguenti proprietà:
Generalizzando i concetti di mappa matriciale e mappa sul piano complesso, si definisce su uno spazio di Hilbert la trasformata di Cayley per operatori lineari:
Tale funzione permette, in particolare, di definire la diagonalizzazione di operatori autoaggiunti non limitati attraverso una misura a valori di proiettore.
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