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In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici, la varietà centrale di un punto di equilibrio di un sistema dinamico consiste nelle orbite il cui comportamento in prossimità del punto di equilibrio non è soggetto né all'attrazione della varietà stabile né alla repulsione di quella instabile.
Sia dato un sistema dinamico:
dove è una matrice costante, è di classe con in un intorno del punto di equilibrio isolato e:
Se e sono le varietà stabile ed instabile dell'equazione:
detto lo spazio generato dagli autovettori di associati ad autovalori con parte reale nulla, esiste una varietà invariante , detta varietà centrale, tangente in prossimità del punto di equilibrio. Non è necessariamente unica.
Sia:
un sistema dinamico non lineare con punto di equilibrio . La sua linearizzazione in un intorno di è:
dove la matrice jacobiana in :
definisce tre sottospazi invarianti:
Per il sistema non linearizzato vi sono tre corrispondenti varietà invarianti, formate da insiemi di orbite del sistema e tangenti i sottospazi nel punto di equilibrio:
Il teorema della varietà centrale stabilisce che se la funzione è di classe allora per ogni punto di equilibrio esiste un intorno in cui esiste almeno:
Si dimostra inoltre che l'intorno può essere scelto in modo che tutte le soluzioni del sistema che stanno nell'intorno tendono esponenzialmente alla soluzione sulla varietà centrale, ovvero:
per qualche .
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