Phase-shift keying

Nelle telecomunicazioni, la modulazione a spostamento di fase, in inglese phase-shift keying (PSK), è un tipo di modulazione digitale in cui l'informazione è codificata tramite la fase della portante sinusoidale impiegata per la sua trasmissione.^[1] In particolare, questo tipo di modulazione è caratterizzato dalla modulazione solo in fase, con l'ampiezza e la frequenza del segnale non modulate e costanti nel tempo.^[2]

Esempio di modulazione BPSK nel GPS: a ogni transizione della sequenza binaria, la fase della portante cambia di 180º

Questo tipo di modulazione trova largo impiego in applicazioni primarie come:^[3][4] comunicazioni militari, satellitari e spaziali; Wi-Fi; Bluetooth; RFID; telefonia cellulare; GPS e trasmissioni su fibra ottica a elevata capacità.

Principio generale

Negli schemi di modulazione digitale, i dati sono rappresentati e trasmessi usando un numero finito di segnali differenti. Nel caso della modulazione PSK, il segnale associato ai simboli, che possono essere composti da uno o più bit, è realizzato tramite un salto di fase applicato a una portante sinusoidale di frequenza e ampiezza costanti.^[2][5][6] Il numero di fasi differenti utilizzate coincide con il numero di simboli differenti che si possono trasmettere e ogni simbolo viene associato in modo predeterminato a uno sfasamento di valore prefissato:^[7] in questo modo, ogni valore di fase codifica un simbolo distinto.^[8]

Il modulatore, ogni volta in cui deve trasmettere un simbolo, modifica la fase della portante di una quantità corrispondente al valore associato al simbolo stesso, secondo il codice di assegnazione prescelto; questa variazione di fase viene mantenuta fino alla trasmissione del simbolo successivo. In ricezione, anche il demodulatore utilizza una portante di riferimento, che è la replica della portante non modulata utilizzata dal trasmettitore; in questo modo è in grado di determinare, per confronto tra il segnale di riferimento e il segnale ricevuto, l'ampiezza dello sfasamento in corrispondenza di ogni simbolo e quindi, noto il codice, può identificare il valore binario associato al simbolo. Campionando il valore della fase ricevuta in modo periodico, ad ogni intervallo di simbolo, si può quindi ricostruire in ricezione il flusso informativo, ossia la sequenza di bit trasmessi.

Fenomeni di propagazione quali attenuazione, interferenze, rumore e distorsione possono introdurre errori nella fase del segnale ricevuto, che possono riflettersi in un errore nella decodifica del simbolo. Per minimizzare questo problema, i valori di fase discreti usati per la modulazione vengono scelti in modo da essere equidistanti tra loro, sulla base anche del numero di simboli previsti dalla codifica.^[9]

Come accade anche per la modulazione di fase analogica, tale tipo di modulazione ha il vantaggio di presentare un'ottima robustezza nei confronti dell'errore di ampiezza dei simboli ricevuti in quanto l'informazione è codificata nella fase e una variazione nell'ampiezza della portante è sostanzialmente ininfluente (eccetto il caso di azzeramento completo). Inoltre, la modulazione PSK consente di usare la banda in maniera più efficiente, potendo a parità di banda trasmettere più simboli differenti semplicemente cambiando la fase, senza modificare o modulare la frequenza di trasmissione.^[10]

Dal punto di vista realizzativo, un aspetto critico è dato dal circuito di demodulazione, che per poter funzionare correttamente, oltre a esser fortemente dipendente dal sistema di codifica utilizzato, richiede che la portante di riferimento sia il più possibile identica e sincronizzata, sia in frequenza che in fase, alla portante non modulata usata dal trasmettitore (modulazione e demodulazione di tipo coerente, Coherent PSK o CPSK), o che comunque presenti un margine di errore di sincronizzazione molto ridotto, per limitare possibili errori di decodifica.^[11] Per ottenere questo elevato livello di precisione nella sincronizzazione, è necessario ricorrere a tecniche e algoritmi sofisticati e complessi.^[12][13] Per semplificare questi aspetti, sono state sviluppate tecniche di modulazione non coerenti, che non impongono al ricevitore di ricostruire una replica esatta della portante originaria ma che consentono comunque di determinare le variazioni di fase; questo è il meccanismo alla base della modulazione PSK di tipo differenziale (Differential PSK, DPSK). Queste tecniche semplificano in modo significativo l'implementazione del ricevitore e del demodulatore, anche se comportano una maggiore sensibilità agli errori di demodulazione.^[14][15]

Da un punto di vista dello spettro, la modulazione PSK presenta un andamento identico a quello ASK; in particolare, a parità del numero di simboli e usando impulsi a banda minima come il coseno rialzato, l'efficienza spettrale in condizioni nominali è identica.^[16]

Vantaggi e svantaggi

Rispetto ad altri schemi di modulazione usati nello stesso campo di applicazioni, in particolare rispetto alla modulazione QAM, la modulazione PSK risulta avere un'efficienza energetica migliore e una maggiore robustezza nei confronti del rumore, che la rende adatta ad applicazioni in cui l'affidabilità prevale sulla velocità di comunicazione.^[17] Di contro, escludendo l'impiego nella trasmissione ottica, è in generale limitata per quanto riguarda le velocità di trasmissione ed ha un'efficienza spettrale inferiore, essendo più limitata nel numero di bit per simbolo che possono essere utilizzati.^[17][18]

Formulazione matematica

La modulazione PSK nel dominio del tempo è descritta dalla formula generale:^[8][16]

${\displaystyle s(t)=A_{c}\cos(\omega _{c}t+\phi _{n}(t))}$

dove:

• ${\displaystyle s(t)}$ è il segnale modulato
• ${\displaystyle A_{c}}$ è l'ampiezza della portante, che nel caso della modulazione PSK ideale è costante nel tempo
• ${\displaystyle \omega _{c}}$ è la velocità angolare della portante, espressa in radianti per secondo (rad/s), legata alla frequenza ${\displaystyle f_{c}}$della portante dalla relazione ${\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}}$, anch'essa idealmente costante nel tempo
• ${\displaystyle \phi _{n}(t)}$ è la modulazione di fase associata alla sequenza di simboli ${\displaystyle n}$, espressa in radianti
• ${\displaystyle t}$ è il tempo, espresso in secondi.

Esempio di costellazione di una modulazione 4-PSK

A questa formula corrisponde l'inviluppo complesso:^[16]

${\displaystyle {\underline {s}}(t)=A_{c}e^{j\phi _{n}(t)}=A_{c}\cos \phi _{n}(t)+jA_{c}\sin \phi _{n}(t)}$

Essendo ${\displaystyle A_{c}}$ costante, anche l'inviluppo è costante. Rappresentato su un piano complesso, questo inviluppo identifica una circonferenza di raggio ${\displaystyle A_{c}}$ centrata sull'origine degli assi. Ogni punto della circonferenza rappresenta un valore di fase ${\displaystyle \phi _{k}}$ di coordinate ${\displaystyle (A_{c}\cos \phi _{k},A_{c}\sin \phi _{k})}$.

Indicato con ${\displaystyle M}$ il numero di bit associati ad ogni simbolo, il numero di simboli distinti, ovvero i possibili valori distinti della fase, è dato da ${\displaystyle L=2^{M}}$. Per semplicità, ${\displaystyle L}$ viene spesso indicato anche come livello della modulazione PSK. Applicando quindi la condizione di equispaziatura, ${\displaystyle \phi _{k}}$ può assumere ad esempio i valori dati da:^[16]

${\displaystyle \phi _{k}\in \left\{i{\frac {2\pi }{L}}\right\}\quad }$ per ${\displaystyle i=0,1,2,...L-1}$

Nella modulazione numerica PSK, la fase rimane a un valore costante per tutta la durata del tempo di simbolo ${\displaystyle T_{s}}$. Da questo deriva che la funzione ${\displaystyle \phi _{n}(t)}$ si può descrivere come una successione di intervalli di durata uguale ${\displaystyle T_{s}}$ e di ampiezza ${\displaystyle \phi _{k}}$ dipendente dal simbolo da trasmettere durante l'intervallo. Formalmente, questo viene espresso come:^[16]

${\displaystyle \phi _{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\phi _{k}\operatorname {rect_{T_{s}}} (t-kT_{s})}$

dove ${\displaystyle \operatorname {rect} (t)}$ è la funzione rettangolo applicata all'intervallo di simbolo.

Nella rappresentazione sul piano complesso, essendo modulata solo la fase, questi valori formano una costellazione di ${\displaystyle L}$ punti equidistanziati sulla circonferenza di raggio ${\displaystyle A_{c}}$, a differenza di altri tipi di modulazione a frequenza o ampiezza variabili (come ad esempio QAM) per le quali i punti della costellazione non sono disposti lungo la circonferenza. Questa rappresentazione grafica costituisce il riferimento nominale per la mappatura dei simboli e per l'analisi dei relativi metodi di trasmissione e di decisione in ricezione, probabilità di errore compresa.

Formulazioni equivalenti

Poiché la portante modulata è un segnale analogico periodico di tipo (co)sinusoidale, è possibile esprimere la formula generale di una modulazione PSK in funzione della potenza complessiva del segnale, partendo dalla relazione che lega tale potenza al valore dell'ampiezza:^[19]

${\displaystyle P={\frac {A_{c}^{2}}{2}}}$

da cui, per sostituzione, si ottiene:

${\displaystyle s(t)={\sqrt {2P}}\cos(\omega _{c}t+\phi _{n}(t))}$

A partire da questa relazione, applicando la definizione di potenza del segnale (energia sviluppata per unità di tempo) rispetto al tempo di trasmissione di un bit ${\displaystyle T_{b}}$, indicata con ${\displaystyle E_{b}}$ l'energia per bit, si ottiene l'espressione in funzione della frequenza di bit ${\displaystyle f_{b}}$^[20]

${\displaystyle P={\frac {E_{b}}{T_{b}}}=E_{b}f_{b}}$

per cui la modulazione PSK si può esprimere formalmente anche come:

${\displaystyle s(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(\omega _{c}t+\phi _{n}(t))={\sqrt {2E_{b}f_{b}}}\cos(\omega _{c}t+\phi _{n}(t))}$

Queste formulazioni alternative, essendo di carattere generale e indipendenti dal livello di quantizzazione delle fasi, sono utili nelle analisi degli effetti del rumore e delle probabilità di errore dei vari schemi di modulazione PSK.

Modulazione BPSK

Diagramma a costellazione della modulazione BPSK

La demodulazione BPSK avviene per moltiplicazione con il segnale di riferimento e successivo filtraggio

Lo schema di modulazione più semplice è la modulazione PSK binaria (Binary PSK, BPSK) che utilizza due soli valori di fase (${\displaystyle L=2}$), a cui corrispondono simboli composti da un solo bit. In questo caso, i valori di fase possibili sono solo due:^[16]

${\displaystyle \phi _{k}\in \{0,\pi \}}$

che rappresentano le cifre binarie "0" e "1".

A livello implementativo, il trasmettitore può essere realizzato in modo relativamente semplice tramite una modulazione di ampiezza pilotata da una codifica di linea di tipo NRZ bipolare, in cui i simboli "0" e "1" sono associati a livelli di ampiezza pari rispettivamente a ${\displaystyle -A}$ e ${\displaystyle +A}$. Detta ${\displaystyle m(t)}$ questa codifica, il segnale modulato risultante è:^[16]

${\displaystyle s(t)=m(t)\cos \omega _{c}t}$

che corrisponde all'equazione che definisce la modulazione PSK, dato che ${\displaystyle m(t)}$ nell'intervallo di simbolo mantiene il suo valore costante.

Questo schema è di tipo coerente, quindi il ricevitore deve avere o estrarre un segnale di riferimento locale ${\displaystyle \psi _{1}(t)}$ che sia allineato, in frequenza e in fase, a quello della portante del trasmettitore. Questo si può ottenere per esempio inserendo in trasmissione un tono pilota a cui il ricevitore può agganciarsi con un PLL o ricorrendo a circuiti più complessi per l'estrazione del sincronismo dal segnale ricevuto stesso.^[21]

La demodulazione avviene moltiplicando tra loro il segnale di riferimento e il segnale ricevuto. In questo modo si ottiene il segnale:^[16]

${\displaystyle y(t)=s(t)2\cos \omega _{c}t=2m(t)\cos ^{2}\omega _{c}t=m(t)+m(t)\cos {2\omega _{c}}t}$

La componente ${\displaystyle m(t)\cos {2\omega _{c}}t}$ è a frequenza doppia rispetto a quella del segnale utile e può essere eliminata tramite un filtro passa basso che consente di ricostruire in banda base il segnale binario.

Il vantaggio di questo tipo di modulazione è la robustezza nei confronti del rumore e delle interferenze, che si ripercuotono soprattutto sull'ampiezza del segnale ma che hanno effetti minori sulla fase,^[6] nonché la possibilità di utilizzare in trasmissione livelli di potenza prossimi al massimo, dato che eventuali distorsioni in ampiezza sono ininfluenti sulla fase.^[16] Questo rende questo tipo di modulazione particolarmente adatto per canali soggetti a vincoli sulla potenza massima.^[16]

Densità spettrale di potenza di un segnale BPSK su scala logaritmica (dB). Il contributo dei lobi secondari è inferiore a -10dB rispetto al picco, quindi di fatto trascurabile

Per quanto riguarda la densità spettrale di potenza, indicata con ${\displaystyle P}$ la potenza del segnale e ${\displaystyle f_{c}}$ la frequenza della portante, questa è data dalla relazione: ^[22]

${\displaystyle S(f)={\frac {PT_{s}}{2}}\left[\operatorname {sinc^{2}} ((f-f_{c})T_{s})+\operatorname {sinc^{2}} ((f+f_{c})T_{s})\right]}$

tale per cui:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }S(f)\,df=P}$

dove

${\displaystyle \operatorname {sinc} (fT_{s})={\frac {\sin {(\pi fT_{s})}}{\pi fT_{s}}}\quad }$ con ${\displaystyle f}$ = frequenza, ${\displaystyle T_{s}}$ = tempo di simbolo

Dato che nella modulazione BPSK i simboli sono costituiti da un solo bit, il periodo di simbolo coincide col periodo di bit e si ha la relazione ${\displaystyle T_{s}=T_{b}}$, per cui la densità di potenza in funzione del tempo di bit, ossia in funzione della bit rate, si può esprimere anche come:

${\displaystyle S(f)={\frac {PT_{b}}{2}}\left[\operatorname {sinc^{2}} ((f-f_{c})T_{b})+\operatorname {sinc^{2}} ((f+f_{c})T_{b})\right]}$

La funzione ${\displaystyle S(f)}$ presenta degli zeri in corrispondenza dei multipli positivi e negativi del tempo di simbolo, ossia in corrispondenza dei punti ${\displaystyle f-f_{c}=i/T_{s}}$, con ${\displaystyle i}$ numero intero relativo diverso da zero, mentre ha il suo picco per ${\displaystyle i=0}$. Graficamente, la densità di potenza ha un andamento rappresentato da un lobo centrale principale e un numero infinito di lobi secondari ad ampiezza decrescente, il cui contributo in termini di densità di potenza è di fatto trascurabile. La larghezza in frequenza del lobo principale su cui è concentrata praticamente l'intera densità di potenza è pari a due volte la frequenza di simbolo ${\displaystyle 2f_{s}}$ o, in termini di tempo di simbolo, pari a ${\displaystyle 2/T_{s}}$,^[22] il che rappresenta un utilizzo non molto efficiente della banda.

Tramite l'utilizzo di filtri che modificano gli impulsi di codifica da NRZ in altri tipi di impulso, come ad esempio il filtro a coseno rialzato, è possibile dimezzare tale valore, ma questo comporta che l'inviluppo del segnale modulato non sia più costante nel tempo e che aumenti la sensibilità agli errori di sincronizzazione tra trasmettitore e ricevitore.^[22] Infine, l'impiego di simboli a un bit limita la velocità di trasferimento dei dati a parità di banda. Questi aspetti implicano che se la larghezza di banda disponibile è limitata, la modulazione BPSK presenta velocità massime di trasferimento dati inferiori rispetto agli altri schemi PSK.

Modulazioni QPSK (4-PSK)

Diagramma a costellazione della modulazione QPSK con i simboli associati alle fasi in codice Gray

La modulazione QPSK (acronimo di Quadrature Phase-Shifht Keying, modulazione a spostamento di fase in quadratura, o Quaternary Phase-Shift Keying, modulazione a spostamento di fase quaternaria) è caratterizzata da ${\displaystyle L=4}$, ovvero utilizza quattro fasi differenti, ognuna delle quali codifica un simbolo di due bit. Viene indicata anche come 4-PSK, in riferimento al numero di fasi.

Le fasi utilizzate sono determinate dalla relazione:^[16][23]

${\displaystyle \phi _{k}={\frac {\pi }{4}}+k{\frac {2\pi }{4}}=(k+1){\frac {\pi }{2}},\quad k=0,1,2,3}$

che, rappresentate su un diagramma a costellazione, corrispondono a quattro fasi in quadratura (da cui il nome dello schema), essendo distanziate tra loro di ${\displaystyle \pi /2}$ ossia di 90º.

Ogni simbolo codifica due bit: questo implica che la modulazione QPSK, a parità di banda, trasporta il doppio di informazione rispetto alla modulazione PSK, ossia consente di ottenere una bit rate doppia. I simboli sono distribuiti secondo una codifica di Gray per minimizzare gli effetti degli errori di decodifica della fase.^[24]

Da un punto di vista realizzativo, il modulatore (trasmettitore) può essere realizzato come combinazione di due segnali BPSK sfasati tra loro di 90º. Più in dettaglio,^[25] il flusso dati in ingresso viene suddiviso in due: i bit in posizione dispari vengono modulati usando un oscillatore locale alla sua fase naturale mentre i bit in posizione pari vengono sfasati di 90º rispetto all'oscillatore locale prima di essere a loro volta modulati. I due flussi vengono infine sommati e trasmessi.

Schema di un modulatore QPSK

In ricezione^[26] il segnale viene separato nelle due componenti in fase e in quadratura. Ogni componente viene demodulata secondo lo schema BPSK per estrarre i valori di segnale ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle Q}$ relativi rispettivamente al segnale in fase e a quello in quadratura. Questi valori vengono inviati al blocco di decisione che ricostruisce il simbolo associato secondo le relazioni:^[26]

${\displaystyle I<0,\ Q<0\rightarrow 00}$

${\displaystyle I<0,\ Q>0\rightarrow 01}$

${\displaystyle I>0,\ Q>0\rightarrow 11}$

${\displaystyle I<0,\ Q>0\rightarrow 10}$

I bit corrispondenti al simbolo vengono infine serializzati in uscita, ricostruendo così il flusso dati.

Schema di un demodulatore QPSK

Come nel caso della modulazione BPSK, anche questo schema di modulazione è di tipo coerente e richiede la sincronizzazione della portante tra trasmettitore e ricevitore o una sua ricostruzione lato ricevitore, con potenziale introduzione di errori di fase.

La figura seguente mostra l'andamento temporale di un flusso di dati binario in modulazione QPSK. Essendo le due componenti in fase (I) e in quadratura (Q) sfasate di 90º, sono rappresentate rispettivamente da una cosinusoide e da una sinusoide. I bit in posizione dispari sono associati alla componente in fase, mentre quelli in posizione pari sono associati alla componente in quadratura. Nel segnale risultante, è evidente il salto di fase netto in corrispondenza dell'inizio dell'intervallo di simbolo. Da notare anche che l'andamento della componente in fase è identico a quello di una modulazione BPSK.

Andamento temporale di una modulazione QPSK. La sequenza binaria è indicata sotto l'asse del tempo. Nella parte alta sono rappresentate le due componenti del segnale, insieme al valore del bit associato, mentre la parte bassa mostra il segnale complessivo risultante. Risulta evidente il salto di fase in corrispondenza del tempo di simbolo.

Un problema della modulazione QPSK è che quando i bit di un simbolo cambiano entrambi il loro valore, vi è un salto di fase pari a 180º e questo comporta che durante la transizione anche l'ampiezza del segnale si annulla,^[27] dato che nella realtà il transitorio non è istantaneo ma ha una durata non nulla. Questo dà origine ad alcuni problemi indesiderati:^[27]

• l'impiego di amplificatori non lineari può rigenerare le componenti spettrali al di fuori della banda, introducendo distorsioni
• i circuiti di sincronizzazione del ricevitore potrebbero richiedere che l'inviluppo complesso rimanga costante e non nullo, altrimenti è possibile la perdita della sincronizzazione con la portante del trasmettitore e la conseguenza generazione di errori di fase.

Densità spettrale di potenza di un segnale QPSK su scala logaritmica (dB). Il contributo dei lobi secondari è inferiore a -10dB rispetto al picco, quindi di fatto trascurabile

Per quanto riguarda la densità di potenza spettrale ${\displaystyle S(f)}$, nel caso della modulazione QPSK la relazione matematica è la stessa della modulazione BPSK, ma cambia la relazione tra periodo di simbolo ${\displaystyle T_{s}}$ e periodo di bit ${\displaystyle T_{b}}$, dato che ogni simbolo è composto da due bit, e si ha:^[28]

${\displaystyle T_{b}={\frac {T_{s}}{2}}}$

per cui la densità di potenza spettrale in funzione del tempo di bit si può esprimere come:

${\displaystyle S(f)={PT_{b}}\left[\operatorname {sinc^{2}} (2(f-f_{c})T_{b})+\operatorname {sinc^{2}} (2(f+f_{c})T_{b})\right]}$

Confrontando questa relazione con quella analoga della densità spettrale di potenza BPSK, lo spettro risultante per la modulazione QPSK risulta compresso di un fattore due a parità di densità di potenza. Questo implica che per la modulazione QPSK, mentre la larghezza del lobo principale si dimezza a ${\displaystyle 1/T_{s}}$, il picco della densità di potenza raddoppia, risultando così 3 dB più elevato rispetto alla modulazione BPSK.^[28]

Variante: modulazione OQPSK

Diagramma a costellazione della modulazione OQPSK

Diagramma temporale che evidenzia la differenza delle forme d'onda tra QPSK e OQPSK

La modulazione OQPSK (acronimo di Offset Quadrature Phase-Shift Keying), denominata anche SQPSK (Staggered Quadrature Phase-Shift Keying, "QPSK sfalsata")^[29] è una variante della modulazione QPSK in cui la componente in quadratura viene ritardata di mezzo periodo di simbolo rispetto alla componente in fase. Questo comporta che la massima fluttuazione istantanea dell'ampiezza del segnale è limitata a quella corrispondente a una variazione di fase di ${\displaystyle \pm \pi /2}$.^[30][31]

Con queste caratteristiche, le transizioni avvengono un bit alla volta e l'inviluppo complesso non si azzera mai, evitando quindi il problema dell'azzeramento del segnale in caso di transizione tra simboli con bit tutti differenti. Di conseguenza, vi è una maggiore robustezza agli errori di fase, specie quelli introdotti da errori nella sincronizzazione tra trasmettitore e ricevitore, ed è possibile rilassare le caratteristiche di linearità degli amplificatori utilizzati per la realizzazione dei circuiti, senza che questo comporti la rigenerazione di componenti spettrali extra-banda.^[29][32]

Formalmente, la modulazione OQPSK può essere descritta tramite la combinazione della componente di segnale in fase ${\displaystyle i(t)}$ e di quella in quadratura ${\displaystyle q(t)}$:^[33][34]

${\displaystyle s(t)=i(t)\cos(\omega _{c}t)+q(t)\sin(\omega _{c}t)}$

in cui, indicato con ${\displaystyle T_{s}}$ il periodo di simbolo e ${\displaystyle n}$ il simbolo ${\displaystyle n}$-esimo da trasmettere, le componenti sono espresse da:

${\displaystyle i(t)=\sum _{n}a_{I_{n}}\operatorname {rect} (t-nT_{s})\quad \quad \quad a_{I_{n}}=(+1,-1)}$

${\displaystyle q(t)=\sum _{n}a_{Q_{n}}\operatorname {rect} \left[t-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)T_{s}\right]\quad \quad a_{Q_{n}}=(+1,-1)}$

La figura seguente mostra l'andamento temporale di un flusso di dati binario in modulazione OQPSK, che evidenzia lo sfasamento tra la componente in fase e quella in quadratura a metà dell'intervallo di simbolo. Rispetto alla modulazione QPSK, i salti di fase nel segnale complessivo risultante hanno una frequenza doppia a causa del ritardo della seconda componente, ma presentano un'ampiezza inferiore nell'istante del tempo di simbolo.

Andamento temporale di una modulazione OQPSK. La sequenza binaria è indicata sotto l'asse del tempo. Nella parte alta sono rappresentate le due componenti del segnale, insieme al valore del bit associato, mentre la parte bassa mostra il segnale complessivo risultante. Da notare che la componente in quadratura cambia di fase a metà dell'intervallo di simbolo.

Lo schema di un modulatore OQPSK è sostanzialmente identico a quello di un modulatore QPSK con la differenza che la componente in quadratura viene ritardata di ${\displaystyle T_{s}/2}$ prima di venire modulata e sommata alla componente in fase.^[35] Simmetricamente, il demodulatore OQPSK è sostanzialmente identico a quello QPSK tranne che per il fatto che la componente in quadratura viene campionata per la decodifica con un ritardo di ${\displaystyle T_{s}/2}$, in sincronismo con la componente in quadratura.^[36]

Uno schema alternativo di demodulazione prevede che lato ricezione venga prima ritardata di ${\displaystyle T_{s}/2}$ la componente in fase, in modo da riallinearla temporalmente con quella in quadratura per poi procedere a una normale demodulazione QPSK.^[37] In entrambi i casi, essendo lo schema di tipo coerente, va garantito il corretto sincronismo tra trasmettitore e ricevitore, anche per determinare il corretto ritardo tra le due componenti.

Per quanto riguarda invece la densità spettrale di potenza, essendo lo sfasamento di un bit ininfluente ai fini dello spettro risultante, questa è identica a quella della modulazione QPSK base.^[38]

Variante: modulazione pi/4-QPSK

Costellazioni usate nella modulazione π/4-QPSK, indicate ognuna con un colore diverso

Confronto delle transizioni tra simboli nelle modulazioni QPSK, OQPSK e π/4-QPSK che evidenzia come in queste ultime due l'ampiezza dell'inviluppo complesso non si annulla mai

La modulazione pi/4-QPSK, indicata anche come π/4-QPSK, è una variante che prevede l'uso alternato di due costellazioni QPSK sfasate tra loro di 45º (π/4 in radianti, da cui il nome). La fase ${\displaystyle \phi _{n}}$ associata al simbolo ${\displaystyle n}$-esimo è data da:^[39]

${\displaystyle \phi _{n}\in {\begin{cases}\left({\frac {\pi }{4}},{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}},{\frac {7\pi }{4}}\right),&{\mbox{se }}n{\mbox{ pari (o dispari)}}\\\left(0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\right),&{\mbox{se }}n{\mbox{ dispari (o pari)}}\end{cases}}}$

In questo modo, la variazione massima della fase tra due simboli consecutivi è pari a ±135º e non può essere mai di ±90º; questo comporta che, come nel caso della modulazione OQPSK, non si verifica mai l'azzeramento dell'inviluppo nelle fasi di transizione.^[40]

Il cambio alternato della costellazione può essere espresso formalmente anche tramite le componenti in fase e quadratura, che evidenziano lo sfasamento di π/4 ad ogni simbolo ${\displaystyle n}$:^[41]

${\displaystyle i(t)=\sum _{n}\cos {\left(\phi _{n}+n{\frac {\pi }{4}}\right)}\operatorname {rect} (t-nT_{s})}$

${\displaystyle q(t)=\sum _{n}\sin {\left(\phi _{n}+n{\frac {\pi }{4}}\right)}\operatorname {rect} (t-nT_{s})}$

dove

${\displaystyle \phi _{n}\in \left(0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\right)}$

La figura seguente mostra l'andamento temporale di un flusso di dati binario in modulazione pi/4-QPSK. Il primo simbolo ("11") utilizza la prima delle due costellazioni, mentre il secondo ("00") utilizza la seconda e così via in modo alternato. L'ampiezza delle due componenti cambia a ogni cambio di costellazione ma l'ampiezza del segnale complessivo rimane costante.

Andamento temporale di una modulazione π/4-QPSK. La sequenza binaria è indicata sotto l'asse del tempo. Nella parte alta sono rappresentate le due componenti del segnale, insieme al valore del bit associato, mentre la parte bassa mostra il segnale complessivo risultante. I simboli si susseguono usando alternatamente le due costellazioni.

Come lo schema OQPSK, anche questa modulazione consente l'impiego di amplificatori non lineari senza che questo comporti effetti secondari indesiderati, ma rispetto a OQPSK è più robusta nei confronti di attenuazione e dispersione multi-percorso.^[38] Inoltre, a differenza di QPSK e OQPSK, lo schema pi/4-QPSK può essere demodulato in modo non coerente, semplificando in modo significativo la realizzazione del ricevitore.^[38]

Essendo questa modulazione la combinazione mutuamente esclusiva di due modulazioni QPSK ed essendo lo sfasamento alternato ininfluente, la densità spettrale di potenza è identica a quella della modulazione QPSK base.^[38]

Variante: modulazione DP-QPSK

La modulazione DP-QPSK (acronimo di Dual Polarization QPSK, QPSK a polarizzazione doppia)^[42] è una variante utilizzata esclusivamente per la trasmissione ottica, dato che sfrutta le caratteristiche di polarizzazione della luce emessa da un laser. Questo sistema utilizza due modulazioni di tipo QPSK contemporaneamente, trasmesse su due polarizzazioni tra loro ortogonali (verticale e orizzontale).^[43] In questo modo, è possibile trasmettere simboli composti da quattro bit (risultando quindi equivalente, da un punto di vista della capacità di trasporto dati, a una modulazione 16-PSK) mantenendo però tutti i vantaggi della modulazione QPSK in termini di minor probabilità di errore e di minore sensibilità agli errori trasmissivi.^[43] Inoltre, lavorando su segnali di tipo ottico, la realizzazione dei trasmettitori e ricevitori è meno costosa rispetto agli equivalenti in modulazione 16-PSK.^[42]

Schema di un modulatore DP-QPSK

Concettualmente, il modulatore è realizzato prima partizionando il flusso digitale in gruppi di quattro bit, che costituiscono il simbolo da trasmettere. Il fascio laser, polarizzato per esempio orizzontalmente, viene suddiviso in due fasci di uguale potenza da uno splitter ottico. Ogni fascio viene modulato QPSK da una coppia dei bit del simbolo; uno dei due fasci modulati attraversa poi un rotatore di polarizzazione che genera la componente polarizzata verticalmente. Un combinatore ottico infine crea il segnale complessivo composto dai due segnali QPSK sommati insieme.^[42]

Schema di un demodulatore DP-QPSK

Lato ricezione, il demodulatore^[44] utilizza uno splitter polarizzante per separare le due polarizzazioni, ognuna delle quali alimenta in ingresso un mixer ibrido a 90º che usa come secondo riferimento in ingresso un fascio laser locale.^[45][46] La polarizzazione verticale, prima di entrare nel mixer, viene riportata in orizzontale tramite un rotatore di polarizzazione. Il mixer ibrido, che è un componente di tipo passivo, fornisce in uscita le componenti di fase 0, π/2, π e 3π/2 del segnale ottico.^[47] Da un punto di vista formale, indicato con ${\displaystyle S}$ il segnale proveniente dalla linea e con ${\displaystyle L}$ il segnale di riferimento locale, le uscite a coppie del mixer ibrido possono essere espresse nel piano complesso come:^[47]

${\displaystyle A_{I}={\begin{cases}S+L\\S-L\end{cases}}}$

per le componenti in fase, e come:

${\displaystyle A_{Q}={\begin{cases}S+jL\\S-jL\end{cases}}}$

per le componenti in quadratura.

Da queste componenti, tramite un ricevitore ottico di tipo bilanciato, vengono estratti i segnali corrispondenti ai singoli bit che compongono il simbolo.^[46] Questi segnali, dopo esser stati digitalizzati tramite un convertitore analogico-digitale, vengono elaborati da un DSP che provvede a compensare eventuali errori di trasmissione ed altri effetti collaterali legati alla trasmissione ottica (dispersione, attenuazione eccetera)^[45] e infine ritorna il valore dei bit ricevuti, che vengono serializzati per ricostruire la sequenza binaria originale.

Questo schema si è rivelato molto efficiente per trasmissioni ottiche ad alta capacità (da 40 Gbit/s in su)^[48] con prestazioni di gran lunga superiori a quelle ottenibili con la modulazione QPSK ordinaria.^[45][49]

Modulazioni M-PSK di ordine superiore

Diagramma a costellazione di una modulazione 8-PSK con codifica Gray

Le modulazioni di tipo M-PSK, con M maggiore di 4, possono utilizzare un numero qualsiasi di fasi, tuttavia, essendo destinate alla trasmissione di flussi di dati binari, per trasportare simboli composti da un numero intero di bit si usano solo i valori del tipo ${\displaystyle M=2^{n}}$, dove ${\displaystyle n}$ è il numero di bit per simbolo.^[50] La descrizione matematica è quella generale della modulazione PSK.

Come considerazione generale, l'efficienza spettrale degli schemi M-PSK aumenta al crescere di ${\displaystyle M}$, a differenza di quanto avviene nel caso della M-FSK, secondo la relazione:^[51]

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [{\text{bit}}/{\text{s}}\cdot {\text{Hz}}]}$

Questa relazione vale anche per le modulazioni di tipo M-QAM.^[52]

Di contro, all'aumentare di ${\displaystyle M}$ aumenta anche la sensibilità agli errori di fase, al rumore e ai disturbi, e quindi crescono la probabilità di errore e di interferenza intersimbolo, a causa della riduzione della spaziatura tra le fasi utili.^[53][54] Questo comporta che lato trasmissione si deve garantire un rapporto segnale/rumore più elevato, mentre lato ricezione aumenta la complessità dei circuiti e degli algoritmi di rilevamento e decisione in presenza di rumore.^[54] Per questo motivo, nella pratica, si usano soltanto due modulazioni di tipo M-PSK, ossia 8-PSK e 16-PSK.

La modulazione 8-PSK utilizza otto fasi equispaziate di π/4 (45º), in cui ciascuna fase trasporta simboli costituiti da 3 bit e le fasi utilizzate per la codifica sono date da:^[55]

${\displaystyle \phi _{k}=k{\frac {2\pi }{8}}=k{\frac {\pi }{4}},\quad k=0,1,2,3,\dots 7}$

La modulazione 16-PSK utilizza sedici fasi equispaziate di π/8 (22,5º), in cui ciascuna fase trasporta simboli costituiti da 4 bit e le fasi utilizzate per la codifica sono date da:^[55]

${\displaystyle \phi _{k}=k{\frac {2\pi }{16}}=k{\frac {\pi }{8}},\quad k=0,1,2,3,\dots 15}$

Modulazione differenziale DPSK

Le modulazioni di tipo coerente sono affette da un problema lato ricezione: i metodi per agganciare o ricostruire in frequenza e fase la portante di riferimento sono affetti da una potenziale ambiguità nel caso in cui a causa dei disturbi nel canale trasmissivo avvenga una rotazione nella fase del segnale. In tal caso, il ricevitore può agganciarsi con uguale probabilità alla fase di riferimento della portante più una deviazione pari a una qualsiasi delle ${\displaystyle M}$ fasi discrete, generando così una decodifica errata.^[56]

Per eliminare questa ambiguità, una soluzione è ricorrere a una codifica di fase differenziale in trasmissione e a una decodifica di fase differenziale in ricezione, convogliando l'informazione tramite la differenza di fase tra due simboli consecutivi^[56] (modulazione PSK di tipo differenziale o Differential Phase-shifkt Keying, DPSK).

Da un punto di vista formale, indicata con ${\displaystyle \Delta \phi _{n}}$ la differenza di fase informativa associata al simbolo ${\displaystyle n}$-esimo, il trasmettitore modulerà la portante con la fase:^[56]

${\displaystyle \phi _{n}=(\phi _{n-1}+\Delta \phi _{n}){\bmod {2}}\pi }$

Il ricevitore è così in grado di estrarre ${\displaystyle \Delta \phi _{n}}$ tenendo in considerazione la fase del simbolo precedente tramite la relazione:^[56]

${\displaystyle \Delta \phi _{n}=(\phi _{n}-\phi _{n-1}){\bmod {2}}\pi }$

Rispetto alle codifiche definite per le modulazioni n-PSK, in cui a ogni simbolo viene associato un valore assoluto di fase, nella modulazione Dn-PSK tale associazione diventa la variazione di fase da applicare rispetto al simbolo precedente, mantenendo anche eventuali codifiche tipo la codifica Gray. Nel caso della modulazione DBPSK, equivalente differenziale della modulazione BPSK, la codifica diviene quindi:^[57]

${\displaystyle {\mbox{BPSK:}}\;{\begin{cases}0\to \phi =0\\1\to \phi =\pi \end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\mbox{DBPSK:}}\;{\begin{cases}0\to \Delta \phi =0\\1\to \Delta \phi =\pi \end{cases}}}$

Nel caso della modulazione DQPSK, la codifica delle variazioni di fase associate ai vari simboli segue quella del codice Gray utilizzato per la modulazione QPSK:^[57]

${\displaystyle {\mbox{QPSK:}}\;{\begin{cases}00\to \phi =\pi /4\\01\to \phi ={3\pi }/4\\11\to \phi ={5\pi }/4\\10\to \phi ={7\pi }/4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\mbox{DQPSK:}}\;{\begin{cases}00\to \Delta \phi =\pi /4\\01\to \Delta \phi ={3\pi }/4\\11\to \Delta \phi ={5\pi }/4\\10\to \Delta \phi ={7\pi }/4\end{cases}}}$

Diagramma temporale delle modulazioni DBPSK (in alto) e DQPSK (in basso) per lo stesso flusso di dati binario. Nel segnale DQPSK i bit sono raggruppati a coppie e la fase cambia a ogni intervallo T_s = 2T_b.

Questa soluzione consente di eseguire la decodifica senza dover ricorrere a un segnale di riferimento o alla ricostruzione del segnale usato dal trasmettitore (decodifica di tipo non coerente), semplificando quindi la realizzazione del demodulatore.^[58] Inoltre, la modulazione DPSK è più efficiente in termini di utilizzo della banda.^[59] Di contro, nel caso vi sia un errore nella decodifica di un simbolo, questo errore si propagherà anche al simbolo successivo, dato che questo viene calcolato in funzione del precedente; l'effetto dell'errore però non si propagherà oltre.^[58][59] A questo si aggiunge che la modulazione DPSK è più esposta alle interferenze da rumore rispetto alla modulazione PSK;^[59] questo comporta che tendenzialmente una modulazione di tipo differenziale è esposta a una probabilità di errore più elevata,^[58][59] quantificabile in un peggioramento delle prestazioni di circa 1 dB rispetto alla corrispondente modulazione PSK.^[57]

Probabilità di errore (Bit Error Rate)

Modulazioni M-PSK

Andamento del tasso di errore (Bit Error Rate) per i vari tipi di modulazione PSK

Per quanto riguarda la probabilità di errori, si considera il caso di rumore bianco additivo di tipo gaussiano (Additive White Gaussian Noise, AWGN) per cui alla componente di segnale si aggiunge una componente di rumore la cui densità di energia è indicata come ${\displaystyle N_{0}}$. Nel caso della modulazione BPSK, la probabilità di errore ${\displaystyle P_{e,s}}$ in funzione dell'energia del segnale ${\displaystyle E_{s}}$ è data da:^[60]

${\displaystyle P_{e,s}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{s}}{N_{0}}}}\right)}$

Da notare che il fattore ${\displaystyle {E_{s}}/{N_{0}}}$ rappresenta il rapporto segnale/rumore. Nel caso della modulazione BPSK il segnale è composto da simboli di un solo bit, per cui l'energia del segnale e l'energia per bit sono uguali e anche le rispettive probabilità di errore sono uguali:

${\displaystyle P_{e,s}=P_{e,b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

La funzione ${\displaystyle Q}$ è definita come:^[61]

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y^{2}/2}dy}$

ed è legata alla funzione degli errori complementare dalla relazione:^[61]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$

il che per la modulazione BPSK consente di esprimere la probabilità di errore come funzione del rapporto segnale/rumore:

${\displaystyle P_{e,b}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Questa relazione evidenzia come la probabilità di errore diminuisca all'aumentare del rapporto segnale/rumore e consente anche di calcolare, data una probabilità di errore, qual è il rapporto segnale/rumore minimo richiesto. Per esempio, per ottenere una probabilità di errore pari a 10⁻⁵ si richiede ${\displaystyle {E_{b}}/{N_{0}}}$ = 9,6 dB.

Per quanto riguarda le modulazioni M-PSK di ordine superiore, nel caso QPSK (M=4) la probabilità di errore per bit è la stessa del caso BPSK, ma, essendo i simboli costituiti da due bit, è necessaria una potenza di trasmissione doppia per ottenere lo stesso valore di tasso di errore a parità di rapporto segnale/rumore. La probabilità di errore per simbolo, infatti, nel caso QPSK è data dalla relazione:^[62]

${\displaystyle P_{e,s}=1-{(1-P_{e,b})}^{2}=2P_{e,b}-P_{e,b}^{2}}$

Se, come avviene nella pratica, il rapporto segnale/rumore è elevato, il secondo termine diventa trascurabile, e la probabilità di errore per simbolo si approssima come:

${\displaystyle P_{e,s}\approx 2P_{e,b}=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Nel caso di modulazioni M-PSK con M ≥ 4 la probabilità di errore, a fronte di un rapporto segnale/rumore elevato, si può generalizzare come:^[63][64]

${\displaystyle P_{e,s}\approx \operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\sin \left({\frac {\pi }{M}}\right)\right)}$

Modulazioni DPSK

Confronto tra l'andamento del tasso di errore di una modulazione DPSK rispetto alle modulazioni PSK

Nel caso della modulazione differenziale DPSK a due livelli (DBPSK), la probabilità di errore è data dalla relazione:^[57][65]

${\displaystyle P_{e,b}={\frac {1}{2}}e^{-E_{b}/N_{0}}}$

Da questa relazione discende che nel caso di una codifica binaria semplice, la probabilità di errore di una modulazione DPSK è più alta ma non si discosta molto da quella della modulazione BPSK canonica.

Nel caso di modulazioni differenziali con un numero di livelli M>2, la relazione generale diventa più complessa ed è data da:^[65]

${\displaystyle P_{e,b}={\frac {1}{\log _{2}{M}}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {2E_{b}\log _{2}{M}}{N_{0}}}}\sin \left({\frac {\pi }{2M}}\right)\right)}$

Confrontando questa relazione con la corrispondente formula per le modulazioni non differenziali, emerge che, a parità del numero di livelli M e di rapporto segnale/rumore, una modulazione di tipo DPSK presenta una probabilità di errore sensibilmente più elevata rispetto a una modulazione di tipo PSK canonico. Questo implica che per ottenere una probabilità di errore analoga, la modulazione DPSK richiede un rapporto segnale/rumore più elevato.

Applicazioni

Wi-Fi

Le modulazioni PSK trovano largo impiego nelle trasmissioni Wi-Fi: la normativa IEEE 802.11b prevede l'impiego delle modulazioni BPSK, DBPSK e QPSK.^[66][67][68] In particolare, per le velocità di trasferimento più basse prevede le modulazioni differenziali DBPSK (fino a 1 Mbit/s) e DQPSK (fino a 2 Mbit/s) mente per le velocità più elevate (5,5 Mbit/s e 11 Mbit/s)) si usa QPSK in congiunzione con la codifica CCK.^[67]

La normativa IEEE 802.11g-2003^[66][69] aggiunge ulteriori velocità di trasferimento dati a 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48 e 54 Mbit/s. Per le prime due (6 e 9 Mbit/s) si ricorre a una modulazione di tipo OFDM in cui ogni sottoportante è modulata con BPSK.^[69][70] Le rate a 12 e 18 Mbit/s usano sempre OFDM con sottoportanti modulate con QPSK.^[69] Le modalità più veloci ricorrono a sottoportanti di tipo QAM.^[69] Questo approccio è stato mantenuto anche nelle successive normative IEEE 802.11n e 802.11ac.^[70]

Anche la normativa IEEE 802.11p, che descrive le caratteristiche del Wi-Fi specificatamente concepito per l'accesso veicolare (Wireless Access in Vehicular Environments, WAVE), prevede l'impiego di 52 sottoportanti modulate, tra le altre possibilità, come BPSK e QPSK.^[71]

RFID

Grazie alla sua semplicità, la modulazione BPSK consente di realizzare trasmettitori a basso costo e trova impiego negli standard RFID come la normativa ISO/IEC 14443 usata per i passaporti biometrici, per le carte di credito e per molte altre applicazioni contact-less,^[72][73] tra cui la tecnologia NFC implementata anche negli smartphone.^[74][75]

Bluetooth

Bluetooth 2 utilizza la modulazione π/4-DQPSK per la velocità di trasferimento più bassa (2 Mbit/s) e 8-DPSK per quella più alta (3 Mbit/s) quando il link tra I due dispositivi è sufficientemente robusto.^[76] Anche la tecnologia IEEE 802.15.4, lo standard wireless definito da ZigBee, prevede l'uso di BPSK per le bande a 868 MHz e 915 MHZ^[77] e di OQPSK per la banda a 2,4 GHz.^[78]

Comunicazioni satellitari e spaziali

I satelliti televisivi utilizzano ampiamente le modulazioni QPSK e 8-PSK. QPSK trova largo impiego nella trasmissione dei canali satellitari in definizione standard, mentre per i canali in alta definizione si usa quasi esclusivamente la modulazione 8-PSK sia perché servono bit rate più elevate che per ottimizzare l'utilizzo della banda, che nei satelliti è molto costosa.^[79] Lo standard satellitare DVB-S2 richiede di supportare entrambe le modulazioni.^[80]

Anche i sistemi di navigazione satellitare, come il GPS, impiegano la modulazione BPSK per le loro comunicazioni.^[81]

La modulazione BPSK si è rivelata particolarmente adatta per le comunicazioni tra satelliti, nonché tra stazioni terrestri e dispositivi spaziali (satelliti e sonde)^[82] grazie alle sue caratteristiche di robustezza al rumore, di efficienza spettrale e di semplicità realizzativa a basso consumo energetico che consentono trasmissioni affidabili anche su distanze molto elevate.^[83][84] La NASA impiega la modulazione BPSK per la comunicazione con sonde nello spazio profondo come quelle del programma Voyager.^[85]

Trasmissioni ottiche

Per quanto riguarda le comunicazioni in fibra ottica, la modulazione DP-QPSK gioca un ruolo fondamentale per i sistemi di trasmissione a lunga distanza e alta velocità, dato che consente di raggiungere bit rate comprese tra i 100 Gbit/s e i 400 Gbit/s su tratte dell'ordine del centinaio di chilometri.^[48][86] Inoltre il demodulatore per quanto riguarda la parte ottica del segnale può essere realizzato come componente totalmente passivo,^[87] con un abbassamento dei costi energetici, e integrato in un unico dispositivo.^[88]

Altre applicazioni

In aggiunta a quelle già elencate, i vari tipi di modulazione PSK trovano impiego anche nelle seguenti applicazioni:^[3][4]

• nelle reti cellulari usate dalla telefonia mobile;
• nella trasmissione di dati nelle linee di tipo DSL;
• nella trasmissione di dati nei vecchi modem telefonici;
• nei sistemi di telemetria;
• in alcuni tipi di dispositivi medici (sensori impiantabili; sistemi di telemonitoraggio);
• nei sistemi di comunicazione militari, per le caratteristiche di robustezza a rumore e disturbi;
• nei sistemi di comunicazione sottomarini;
• nelle trasmissioni radio amatoriali, per la capacità di trasferimento a lunghe distanze con consumo energetico ridotto.