Buca di potenziale

In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo ${\displaystyle 0<x<a}$; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\\infty &x<0;\,x>a\end{cases}}}$

costituisce una buca di potenziale infinita^[1], mentre

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\V_{0}&x<0;\,x>a\end{cases}}}$

definisce una buca di potenziale finita.

Schema del potenziale unidimensionale delle buche di potenziale finita ed infinita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Buca di potenziale infinita

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x).}$

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato ${\displaystyle \psi }$.

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per ${\displaystyle x<0}$, la seconda ${\displaystyle 0<x<a}$ e la terza per ${\displaystyle x>a}$; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona ${\displaystyle x<0}$ e nella zona ${\displaystyle x>a}$ l'unica soluzione per cui ${\displaystyle V(x)\to \infty }$ si ha per

${\displaystyle \psi (x)=0,\qquad x<0,x>a.}$

Nella zona ${\displaystyle 0<x<a}$, l'equazione di Schrödinger, per ${\displaystyle V(x)=0}$, coincide con quella di una particella libera:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x),}$

in cui le energie devono essere positive, ${\displaystyle E>0}$, in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che ${\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$, in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\,\psi (x)}$

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi ${\displaystyle e^{\pm ikx}}$:

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con ${\displaystyle E<0}$. Quindi imponendo le condizioni al contorno:

${\displaystyle \psi (0)=\psi (a)=0}$

otteniamo

${\displaystyle \psi (x=0)=A+B=0}$

cioè ${\displaystyle A=-B}$

Inoltre per

${\displaystyle \psi (x=a)=Ae^{ika}+Be^{-ika}=0}$

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

${\displaystyle ka=n\pi }$

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

${\displaystyle \psi (x)=2A\sin {(kx)}}$

dove ${\displaystyle k={\frac {n\pi }{a}}}$ a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

${\displaystyle k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\;\;\;\longrightarrow \;\;\;E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}}$

Le autofunzioni sono quindi:

${\displaystyle \psi _{n}(x)=2A_{n}\sin {(k_{n}x)}}$

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }dx\,{|\psi (x)|}^{2}=1\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\int _{0}^{a}dx\,4{|A_{n}|}^{2}\sin ^{2}{(k_{n}x)}=1}$

dalla quale:

${\displaystyle 2a{|A|}^{2}=1}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2a}}}}$

Energia potenziale, autofunzioni e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati della buca di potenziale infinita.

Le autofunzioni normalizzate

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin \left({\frac {n\pi }{a}}x\right)}$

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(0,a)}$, essendo:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm}}$

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\psi _{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}{\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin(kx)}$

dove i coefficienti ${\displaystyle c_{n}}$ sono dati da:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\Psi (x)\,dx=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=c_{n}}$

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

${\displaystyle E=E_{n}}$

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

${\displaystyle \langle H\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)H\Psi (x)\,dx=\sum _{n}c_{n}E_{n}\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)\psi _{n}(x)\,dx=\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}}$

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)}$

e quindi è:

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}$

Buca di potenziale finita

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo ${\displaystyle x\to -x}$, e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

Buca di potenziale finita nella vecchia e nella nuova scala delle lunghezze e delle energie.

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&\vert x\vert <a\\0&\vert x\vert >a\end{cases}}.}$

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone ${\displaystyle \vert x\vert >a}$ e ${\displaystyle \vert x\vert <a}$ è del tipo:

${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+|E|\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert >a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-(V_{0}-|E|)\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert <a\end{cases}}}$

Poiché

${\displaystyle V\left(x\right)=V\left(-x\right),}$

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

${\displaystyle \left[H,P\right]=0}$

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}}$

${\displaystyle q^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&\,|x|>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&\,|x|<a\end{cases}}}$

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}&\,x<-a\\C\psi ^{+}(x)+D\psi ^{-}(x)&\,-a\leq x\leq a\\De^{i\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}$

dove le autofunzioni:

${\displaystyle \psi ^{+}\left(x\right)=\psi ^{+}\left(-x\right)}$

sono a parità pari, mentre

${\displaystyle \psi ^{-}\left(x\right)=-\psi ^{-}\left(-x\right)}$

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

${\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{\lambda x}&\,x<-a\\C\cos(qx)&\,-a\leq x\leq a\\Be^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}$

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in ${\displaystyle x=-a}$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in ${\displaystyle x=a}$:

${\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{-\lambda a}=C\cos(qa)\\B\lambda e^{-\lambda a}=Cq\sin(qa)\end{cases}}}$

da queste due otteniamo:

${\displaystyle q\tan(qa)=\lambda }$

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

${\displaystyle y=qa,\qquad y_{0}^{2}={\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}$

da cui:

${\displaystyle \lambda ^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-q^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-y^{2}{\text{.}}}$

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

${\displaystyle \tan y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}$

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

${\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{\lambda x}&\,x<-a\\C^{\prime }\sin(qx)&\,-a\leq x\leq a\\B^{\prime }e^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}$

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in ${\displaystyle x=a}$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in ${\displaystyle x=-a}$:

${\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{-\lambda a}=-C^{\prime }\sin(qa)\\B^{\prime }\lambda e^{-\lambda a}=C^{\prime }q\cos(qa)\end{cases}}}$

da queste due otteniamo:

${\displaystyle q\cot(qa)=-\lambda }$

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

${\displaystyle -\cot y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}$

che possiamo riscrivere nella forma:

${\displaystyle \tan y=-{\frac {y}{\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}$

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Energia potenziale e densità di probabilità associate agli autostati dell buca di potenziale finita nel caso y₀=6.

Ad esempio, per ${\displaystyle y_{0}=6}$, le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

${\displaystyle \psi _{E}(x)={\begin{cases}e^{-\lambda |x|}&\,|x|>a\\\psi ^{+}(x)=\cos(qx)&\,|x|\leq a\\\psi ^{-}(x)=\sin(qx)&\,|x|\leq a\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle q}$ sono definite sopra e legate tra loro.